SCht2-2 Hermite插值

科学计算4.Hermite插值科学计算Hermite插值问题.Hermite,)插值问题埃尔米特(.这种插值问题称应为值相等的导数值甚至高阶导数而且在某些节点上对值相等不仅要求在节点上函数科学计算.,,1,0,)(,)()(12,,,1,0,)()(112121210nifxHfxHxHnnifxffxfbxxxaniiniinniiiin满足多项式次的要求一个次数不超过和上已知个节点在Hermite插值问题举例.),,(),()!22()()()()(,22),()(2)22(121xbaxnfxHxfxRnbaxfnnn且依赖于其中则插值余项为阶导数内有在区间若科学计算.)()('),()(),()(),()(,],[)(11221100的插值多项式及其余项试求满足条件上有四阶连续导数在若xfxPxfxPxfxPxfxPbaxf例两个典型例子AAxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxPxP求可设的多项式为次数不超过由条件知略.))()((],,[))((],[)()()(,3)(210210101000)解().(),())()(()()()(2210xkxxxxxxxkxPxfxR求设余项科学计算.)()('),()(),()(),()(,],[)(11221100的插值多项式及其余项试求满足条件上有四阶连续导数在若xfxPxfxPxfxPxfxPbaxf例.,,),())()((!41)(2102210)4(所界定的范围内和在其中余项为续xxxxxxxxxxfxR)解(科学计算.)()(),()(),()(,],[)(001100的插值多项式及其余项试求满足条件上有三阶连续导数在若xfxHxfxHxfxHbaxf练习).)((],[)()()())(()()(),()(),()(1010001011100xxxxAxxfxxxfxHxxxxAxNxHxfxHxfxH即，可设由条件解.)(],[),()(0101000xxxfxxfAxfxH可得再由条件得到余项构辅),())(()()()(120xtxtxKtHtftg).()(6)()()()(120xxxxfxHxfxR科学计算.)(,)(,)(,)()()Hermite(11001100mxHmxHyxHyxHxH满足条件求插值多项式插值两点三次例),()()()()(.)(),(),(),()(110011001010xmxmxyxyxHxxxx令取基函数略解.1)(,0)(,0)()(,0)(,1)(,0)()(,0)()(,1)(,0)(,0)()(,0)(,1)(Hermite10001000100010001000100010001000xxxxxxxxxxxxxxxx插值多项式的三次基函数为满足如下条件科学计算.)(,)(,)(,)()()Hermite(11001100mxHmxHyxHyxHxH满足条件求插值多项式插值两点三次例,)/()()/()(21)(0)(,1)(,)/())(()(2102101000000210210xxxxxxxxxxxxxxxbaxx得由设.)/())(()(,1,)/())(()(20120112102100xxxxxxxcxxxxxxcx同理有得而设,)/()()/()(21)(201201011xxxxxxxxx类似可得科学计算.)(,)(,)(,)()()Hermite(11001100mxHmxHyxHyxHxH满足条件求插值多项式插值两点三次例.,,)())((!41)(102120)4(所界定的范围内和在其中余项为xxxxxxxfxR科学计算5.分段低次插值科学计算高次插值插值多项式次数越高,逼近的精度未必越好Runge现象在[-5,5]取等距节点对作插值分段!)1(1)(2xxf-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5f(x)interpolant-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5xf(x)interpolant科学计算•用通过插值点的折线段逼近f(x)..)(,],[)((3),,,1,0,)((2)],,[)((1))(,max,,,,11010分段线性函数xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn则称上是线性函数在每个小区间满足求折线函数记上的函数值已知节点分段线性插值科学计算）（或误差估计，得到时，记当6.4.8|)()(|max,|))((|max2|)()(|max|)(|max],[)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk分段线性插值的误差估计科学计算若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足.],[)((3),,,1,0,)(,)((2)],,[)((1)11上是一个三次多项式在每个小区间kkhkkhkkhhxxxInkfxIfxIbaCxI分段三次埃尔米特插值每个区间上均为两点三次Hermite插值多项式.科学计算分段低次插值多项式的缺点分段线性插值导数在插值节点间断,光滑性不高分段三次Hermite插值需要额外提供节点处的导数值光滑程度不高,只有一阶导数连续科学计算6.三次样条插值科学计算关于样条(Spline)古老的插值问题科学计算样条曲线/曲面科学计算样条函数样条函数是满足f(xk)=yk插值条件，且使总曲率的近似值取极小的函数。函数变化平稳，避免巨幅振荡。badxxffm2)()(科学计算三次样条（函数）设a=x0x1x2…xn=b三次样条S(x)是[a,b]上的一个实值函数，使得a)S(x)在[a,b]上二次可微；b)S(x)在[xk,xk+1]上是三次多项式pk(x).pk(x)=akx3+bkx2+ckx+dk科学计算三次样条插值问题给定y0,y1,…,yn，求三次样条S(x)使a)S(xk)=yk,k=0,1,…,nb)pk-1(xk)=pk(xk),k=1,…,n-1c)p’k-1(xk)=p’k(xk),k=1,…,n-1d)p’’k-1(xk)=p’’k(xk),k=1,…,n-1即有4n-2个条件科学计算待求函数S(x)共有4n个未知量{ak},{bk},{ck},{dk}002030010)()(,dxcxbxaxpxSxxx112131121)()(,dxcxbxaxpxSxxxkkkkkkkdxcxbxaxpxSxxx231)()(,,1nnxxx1121311)()(nnnnndxcxbxaxpxS科学计算需补充两个条件(常见的3种边界条件)两端点处一阶导数值y0’和yn’已知S’(x0)=p0’(x0)=y0’,S’(xn)=pn-1’(xn)=yn’两端点二阶导数值y0’’和yn’’已知如自然样条:S’’(x0)=S’’(xn)=0(周期边界条件)若问题是周期的，y0=yn，S’(x0)=S’(xn),S’’(x0)=S’’(xn)科学计算三次样条插值问题的求解方法一：直接求解关于{ak},{bk},{ck},{dk}的线性方程组（4n阶）。方法二：转化为关于矩S’’(xj)=Mj,j=1,2,…,n-1的线性方程组。科学计算方法二当时，，且有则有（因为是三次多项式）1kkxxx)()(xpxSk,)()(kkkkMxSxp111)()(kkkkMxSxpkkkkkkkkkxxxxMxxxxMxp1111)()(xpk科学计算其中，再积分两次，可得其中为常数。kkkkkkkkAhxxMhxxMxp12112122)(kkkkkkkkkkBxxAhxxMhxxMxp)(66)(1311311111()kkkkkkkxxxxpxMMhhkkkxxh11kkBA,科学计算利用插值条件，可确定常数即解得kkBA,,)()(kkkkyxSxp111)()(kkkkyxSxp,6121kkkkyBhM1121161kkkkkkyBhAhM2161kkkkhMyB,6111111kkkkkkkhMMyyhA科学计算即得的表达式（用矩表示）：13113166)(kkkkkkkhxxMhxxMxpkkkkkkkxxhMMyyh11111611,6121kkkhMy)(xpk1,kkMM1kkxxx科学计算如何计算矩？插值条件还未用全a)S(xk)=yk,b)pk-1(xk)=pk(xk),c)p’k-1(xk)=p’k(xk),d)p’’k-1(xk)=p’’k(xk),kkkkkkkkAhxxMhxxMxp12112122)(,6111111kkkkkkkhMMyyhA12121122)(kkkkkkkkAhxxMhxxMxp,611111kkkkkkkhMMyyhA科学计算整理可得，对k=1,2,…,n-1均有记1111613161kkkkkkkMhMhhMhkkkkkkhyyhyy111kkkkkkkhyyhyyb111科学计算关于矩的方程组若取自然边界条件M0=Mn=0，则有可解出(系数矩阵严格对角占优)121111322221)(2)(2)(261nnnnnbbbMhhhhhhhhhhTnMMMM121,,,科学计算例：求以下函数表的三次样条插值等距节点自然边界M0=M5=0MATLAB例子tryinterp.m111kkkxxh43214321410014100141001461bbbbMMMM科学计算.83,241,3845(6.17).2,1,0,|)(|max|)()(|max),1,,1,0(,max,)(,],[)(42104)4()()(1104CCCkhxfCxsxfnixxhhhxSbaCxfkbxakkkbxaiiiini其中则有估计式令件满足第一或第二边界条设定理*误差界与收敛性科学计算Hermite插值:13,16第二章上机作业:(p50)3.将publish所得的页面复制作为邮件正文;取3次最好的上机作业分数作为本学期的上机得分.作业(p49)