2012高中数学 第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

2．4.2抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．课前自主学案温故夯基1．焦点为Fp2，0的抛物线标准方程是____________，准线方程为y＝－p2的抛物线标准方程是____________．2．抛物线定义的实质是___________，其中点F是抛物线的_____，dM－l是抛物线上的_______________．y2＝2px(p0)x2＝2py(p0)|MF|＝dM－l焦点点到准线的距离知新益能抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴y轴顶点坐标O(0,0)焦点坐标(p2，0)_______(0，p2)_______准线方程_______x＝p2_______y＝p2离心率e＝1(－p2，0)(0，－p2)x＝－p2y＝－p2问题探究抛物线x2＝2py(p0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？提示：有一条对称轴；不是中心对称图形．课堂互动讲练抛物线性质的应用考点突破抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．例1【思路点拨】设抛物线方程y2＝2pxp≠0→求A、B两点的坐标→求出弦长AB→写出△OAB的面积，利用面积列方程解p→得结果【解】由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，∴A、B两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±22.∴抛物线方程为y2＝±42x.变式训练已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，|AB|＝23，求抛物线方程．解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝23，∴|y1|＝|y2|＝3，代入圆方程x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，解得，x＝±1，∴A(±1，3)或A(±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.焦点弦问题设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦长问题．例2过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．【思路点拨】设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．【解】抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.直线与抛物线的位置关系问题涉及到直线与抛物线位置关系问题，通常联立方程构成方程组，消元得到x(或y)的二次方程，然后利用Δ或根与系数的关系或弦长公式求解.如图所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.例3【思路点拨】求x1x2及y1y2的值可考虑用根与系数的关系；证明OM⊥ON，可用kOM·kON＝－1或OM→·ON→＝0来证明．【解】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)．(k≠0)(2)由y＝kx－2y2＝2x消去y并整理可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4k2k2＝4，y21·y22＝4x1x2＝16，而y1y20，∴y1y2＝－4.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝y1x1，k2＝y2x2，由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，∴k1·k2＝－44＝－1，即OM⊥ON.抛物线中的最值或定值问题(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化,某直线过定点，代数式恒为某常数．(2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值．如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.证明直线AB必过一定点．【思路点拨】由∠AOB＝90°知OA⊥OB，两直线OA和OB斜率用k统一表示，利用k表示A、B两点坐标．例4【证明】设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－1kx，由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0，y＝0，或x＝2k2，y＝2k，即A点的坐标为(2k2，2k)．同样由y＝－1kx，y2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得(1k－k)y＝x－2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．【名师点评】在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果．方法感悟1．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心，是无心曲线．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式如表所示：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|AF||AF|＝x0＋p2|AF|＝p2－x0|AF|＝y0＋p2|AF|＝p2－y0