分类计数原理与分步计数原理、排列组合

1分类计数原理与分步计数原理、排列组合适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点分类计数原理；分步计数原理；排列；组合教学目标1.掌握分类计数原理与分步计数原理2.理解排列与组合的意义掌握排列数与组合数的计算公式及组合数的两个性质，并用它们解决一些简单的应用问题．教学重点1.以学生熟悉的数学问题为主的带有附加条件排列问题；2.以“至少”“至多”为限量词的组合问题；3.按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步的处理排列组合的基本思想；4.直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题.教学难点排列、组合内容中分类讨论、分步讨论。2教学过程一、课堂导入问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？3二、知识讲解考点1分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。(2)分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。4考点2排列1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m（nm）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数定义：从n个不同元素中，任取m（nm）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示.3.排列数公式：!()()().()!nmnnnmnmAnAnnnnmAnm1214.全排列：n个不同元素全部取出的排列。5.阶乘：从自然数1到n的连乘积，记为!nnAn，规定：0！=15考点3组合1.组合的定义：从n个不同元素中，任取m(nm)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。3.组合数：从n个不同元素中，任取m(nm)个元素的所有组合的个数叫做从n个元素中取出m元素的组合数，用符号mnC表示.4.组合数公式：()()()!.!!()!mmnnmmAnnnnmnCAmmnm121nmmn,,N5.两个性质，mnnmnCC；11mnmnmnCCC．规定：01.nC6三、例题精析考点一特殊元素优先考虑例12010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种7【规范解答】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212ACC；若小张、小赵都入选，则有选法122322AA，共有选法36种，选A.【总结与反思】小张和小赵是特殊元素，需要优先考虑；情况不同时分类讨论。8考点二相邻元素捆绑、不相邻元素插空例22位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.369【答案】B【规范解答】解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有62223AC种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。10解法二：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有62223AC种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生,AB在两端，男生甲、乙在中间，共有22226AA=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有226A＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有226A＝12种排法，三类之和为24＋12＋12＝48种。【总结与反思】相邻元素捆绑、不相邻元素插空。11考点三至多至少问题间接考虑例3从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种（B）80种（C）100种（D）140种12【答案】：A【规范解答】直接法：一男两女,有12545630CC种,两男一女，有215410440CC种,共计70种间接法：任意选取3984C种,其中都是男医生有2510C种,都是女医生有144C种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.【总结与反思】当直接考虑情况比较多或不好考虑时，采用间接考虑问题的方法。13考点四平均分组问题例4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14【答案】36【规范解答】分两步完成：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有21142122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA【反思与总结】按2，1，1分成三组，后面的1，1属于平均分组，需要除以22A。15课程小结1.解题原则：分类加法，分布乘法，有序排列，无序组合。2.运用分类计数原理时，要恰当选择分类标准，做到不重不漏；3.运用分布计数原理时，要确定好次序，并且每一步都是独立，互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取；4.对于复杂问题，可同时运用两个基本计数原理或借助列表，画图的方法来帮助分析；5.在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻裂解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数，组合数的计算公式与组合数的性质，容易产生错误是重复和遗漏计算；166.常见的解题策略有一下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分布的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题出发处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略；