高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9习题课

目录上页下页返回结束第九章习题课一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法目录上页下页返回结束一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续•定义域及对应规律•判断极限不存在及求极限的方法•函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系目录上页下页返回结束思考与练习1.讨论二重极限yxyxyx00lim解法101lim1100xyyx原式解法2令,xky01lim0kkxx原式解法3令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时,下列算法是否正确?目录上页下页返回结束分析:yxyxyx00lim解法101lim1100xyyx解法2令,xky01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.时例如xxy21lim2230xxxx原式此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,,1,,111xyxxy时例如目录上页下页返回结束解法3令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了的任意性,时当4π,0r)sin(2sincossincossincos4πrr极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.目录上页下页返回结束0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示:利用,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f在(0,0)连续;,0),0()0,(yfxf又因0)0,0()0,0(yxff所以知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:目录上页下页返回结束而)0,0(f,00时，当yx22)0,0()()(yxf22222])()([)()(yxyx0所以f在点(0,0)不可微!232222])()([)()(yxyx目录上页下页返回结束例1.已知求出的表达式.),(yxf解法1令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf)1(),(yxyxf解法2)())((),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1相同.,)(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx)(且,yxv)()()(241241uvuvu目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性目录上页下页返回结束例2.设其中f与F分别具,0),,(,)(zyxFyxfxz解法1方程两边对x求导,得xzdd)0(23FFfxxzdd1F23FFfx132FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFffx)dd1(xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(1999考研)目录上页下页返回结束解法20),,(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分,得化简消去即可得yd.ddxzyFd20d3zFyfxd0dz)d(dddyxfxxfz0ddd321zFyFxFxfxfd)(xFd1目录上页下页返回结束例3.设),,(zyxfu有二阶连续偏导数,且,sin2txz,)ln(yxt求.,2yxuxu解:uzyxtxyxxu1f(3ftxsin2txcos2)yxu212f(13ftxcos2)33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx3fyxtx1cos222)(yxxyxt1sin)(yx1costyx1yx132f目录上页下页返回结束练习题1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()()1(222xyxfzxyxfzxyfxz2.P130题12目录上页下页返回结束解答提示::)()1(2xyfxz:)()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2fxyxyfxy)1(22222fxy232fy2yxz2yxz2fy2)(22xyfxy2)1(22xyfxy22第1题目录上页下页返回结束2222fxyyxz)(2xy21f2222fxy:),()3(2xyxfz22fxyyz目录上页下页返回结束xvuxuvP130题12设求,,sine,cosevuzvyvxuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sine,cosevyvxuu得由,vuzvvuvxuudsinedcosed提示:vvuvyuudcosedsined①yvuyuvyz②利用行列式解出du,dv：目录上页下页返回结束vvvvvyvxuuuuuuucosesinesinecosecosedsineddxuyxddvucosevusineyu代入①即得;xzxvyxvdddvusinevucoseyvxvxu及将代入②即得.yzyvyu及将目录上页下页返回结束tdttyxzxxyx0sine,2e),,(zyxfu有连续的一阶偏导数,)(xyy及)(xzz分别由下两式确定求.ddxu又函数答案:321)sin()(e1ddfzxzxfxyfxux(2001考研）3.设目录上页下页返回结束三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题•极值的必要条件与充分条件•求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)•求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用•最小二乘法目录上页下页返回结束例4.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:设,1),,(222222czbyaxzyxF切点为),,,(000zyxM则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020xxax),,(zyxFFFn目录上页下页返回结束问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题.设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc目录上页下页返回结束222222zcybxaF1222222czbyax令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,,为所求切点.唯一驻点目录上页下页返回结束例5.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:设2261zyxd为抛物面上任一点，则P),,(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min))22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22zyx作拉氏函数)()22(),,(222yxzzyxzyxF到平面目录上页下页返回结束)()22(),,(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在,241414161mind647故目录上页下页返回结束上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：1.在曲面yxz,093zyx并写出该法线方程.提示:设所求点为,),,(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100xy得3,1,3000zyx平面0y0x1000yxz法线垂直于平面点在曲面上目录上页下页返回结束2.在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示:设切点为,),,(000zyx)1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出.),,(000zyx则切平面为所指四面体体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaVV最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数例4(见例4)目录上页下页返回结束3.设),(),,(yxyxf均可微,且在约束条件(x,y)0下的一个极值点,0),(,0),()(0000yxfyxfAyx则若,0),(yxy已知(x0,y0)是f(x,y)下列选项正确的是()0),(,0),()(0000yxfyxfByx则若0),(,0),()(0000yxfyxfCyx则若0),(,0),()(0000yxfyxfDyx则若提示:设),,(),(yxyxfF0),(),(yxyxfFxxx0),(),(yxyxfFyyy(),0),(00yxy,),(),(0000yxyxfyy代入()得),(00yxfxD(2006考研)),(),(),(000000yxyxyxfyxy目录上页下页返回结束作业P1295，6，10，15，17那些哲理伤感的qq个性签名大集合1、你做对事的时候，常常不会被人们提起；当你做错事的时候，常常不会被人们忘记。2、把爱情投资在一个人身上，冒险；把爱情投资在许多人身上，危险。3、三流的化妆是脸上的化妆；二流的化妆是精神的化妆；一流的化妆是生命的化妆。4、单身是领悟，恋爱是失误，分手是觉悟，结婚是错误，离婚是醒悟，再婚是执迷不悟，没有情人是废物，情人多了是动物。5、位置可以增加人的权力，但增加不了权威；位置可以增加人的能量，但增加不了能力；位置可以增加人的知名，但增加不了知识。6、赠人以言，重于珠玉；伤人以言，甚于刀剑。7、与身患疾病的人相比，健康强壮自然就是幸福；与遭受灾祸的人相比，平安无事自然就是幸福。8、互相宽容的朋友一定百年同舟，互相宽容的夫妻一定百年共枕，互相宽容的世界一定和平美丽。9、你的苦