同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数1、函数的定义．记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义　)(xfyxyyDxDyx叫做因变量．叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集yxD.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1)单值性与多值性:若对于每一个Dx,仅有一个值)(xfy与之对应,则称)(xf为单值函数,否则就是多值函数.xyoxeyxyo1)1(22yx2、函数的性质(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数有对于关于原点对称设,,DxD;)()()(为偶函数称xfxfxf;)()()(为奇函数称xfxfxfyxoxyoxy3xy(3)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。1x2x21xx)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy;0时为减函数当x;0时为增函数当x..)(,)(,,0,否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX(4)函数的有界性:;),0()0,(上无界及在.),1[]1,(上有界及在xyoxy111设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.DxDlx)((5)函数的周期性:oyx11][xxy1T3、反函数.)()(1称为反函数确定的由xfyxfy0yexy如4、隐函数.)(0),(称为隐函数所确定的函数由方程xfyyxFxysinh)(1xfysinharx)(xfyxyo)),((xxf))(,(xfx)(1xfy5、反函数与直接函数之间的关系则函数是一一对应设函数,)(xffDxxxffxff))(())((111.)()(21xyxfyxfy图象对称于直线的与6、基本初等函数1）幂函数)(是常数xy2）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数)1,0(logaaxya4）三角函数;cosxy;sinxy5）反三角函数;arccosxy;arcsinxy;cotxy;tanxy;arctanxyycotarcx7、复合函数设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.9、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex双曲正弦2coshxxeex双曲余弦xxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切双曲函数常用公式;sinhxy反双曲正弦ar;tanxy反双曲正切ar;coshxy反双曲余弦ar;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn.,,0,0axNnNn恒有时使1、极限的定义定义N定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理无穷小:极限为零的变量称为无穷小.).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或记作绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:).)(lim()(lim0xfxfxxx或记作在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(limBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论23、极限的性质4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.准则Ⅰ′如果当),(00rxUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.5、判定极限存在的准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.(夹逼准则)(1)1sinlim0xxx(2)exxx)11(limexxx10)1(lim;1sinlim某过程.)1(lim1e某过程6、两个重要极限);(,,0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CC;~;,1lim记作是等价的无穷小与则称如果特殊地7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理).limlim,lim~,~则存在且设.),0,0(lim)3(无穷小阶的是是就说如果kkCCk定理若)(limxf存在,则极限唯一.8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类定义1设函数)(xf在点0x的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.1、连续的定义).()(lim200xfxfxx定义定理.)()(00既左连续又右连续处在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf3、连续的充要条件2、单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf4、间断点的定义(1)跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf(2)可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:.,0右极限都存在处的左函数在点x可去型第一类间断点跳跃型0yx0x0yx0x0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx0x第二类间断点.)(,,)(00类间断点的第二为函数则称点至少有一个不存在右极限处的左在点如果xfxxxf.],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理2)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若8、初等函数的连续性.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理3(零点定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba，使0)(f.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.定理4(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点，使得cf)()(ba.二、典型例题例1.)16(log2)1(的定义域求函数xyx解,0162x,01x,11x214xxx,4221xx及).4,2()2,1(即例2).(.1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求其中设解利用函数表示法的无关特性,1xxt令,11tx