同济大学《高等数学》(第四版)第二章习题课

求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数高阶微分一、主要内容1、导数的定义即或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数,)(,,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxxarc3、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd(6)参变量函数的求导法则4、高阶导数,)()(lim))((0xxfxxfxfx二阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)6、导数与微分的关系).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(二、典型例题例1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf求设解0)0()(lim)0(0xfxffx)100()2)(1(lim0xxxx!100例2.,1111ln411arctan21222yxxxy求设解,12xu设,11ln41arctan21uuuy则)1111(41)1(212uuuyu411u,2142xx)1(2xux,12xx.1)2(123xxxyx例3.,45202tdxdytttyttx求设解分析:,,0不存在时当tt,,,0不存在时当dtdydtdxt不能用公式求导.tttttxytx24)(5limlim200)sgn(2)]sgn(45[lim0tttt.0.00tdxdy故.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求所确定由方程设函数例4解两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy).(,)2()(xfxxxxf求设例5解先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222xxxxxxxxxxf,0时当x,0)0()0(ff;0)0(f,20时当x;43)(2xxxf,02时或当xx;43)(2xxxf,2时当x2)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.42)2()(lim)2(2xfxffx2)2(lim22xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导在xxf,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或.,)(sincosyxxyx求设例6解)(lnyyy)sinlncos(lnxxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx.,114)(22nyxxy求设例7解13441142222xxxxy)1111(234xx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx].)1(1)1(1[!)1(2311)(nnnnxxny一、选择题：1、函数)(xf在点0x的导数)(0xf定义为（）（A）xxfxxf)()(00；（B）xxfxxfxx)()(lim000；（C）xxfxfxx)()(lim00；（D）00)()(lim0xxxfxfxx；2、若函数)(xfy在点0x处的导数0)(0xf，则曲线)(xfy在点()(,00xfx)处的法线（）（A）与x轴相平行；（B）与x轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与x轴即不平行也不垂直：测验题3、若函数)(xf在点0x不连续，则)(xf在0x()（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果)(xf=（），那么0)(xf.(A)xxarccos2arcsin；(B)xx22tansec；(C))1(cossin22xx；(D)xarctanarcxcot.5、如果0),1(0,)(2xxbxexfax处处可导，那末（）（A）1ba；（B）1,2ba；（C）0,1ba；（D）1,0ba.6、已知函数)(xf具有任意阶导数，且2)()(xfxf,则当n为大于2的正整数时，)(xf的n阶导数)()(xfn是（）（A）1)](]([；（D）nxfn2)](![.7、若函数)(txx,)(tyy对t可导且0)(tx,又)(txx的反函数存在且可导，则dxdy=（）（A）)()(txty；（B）)()(txty；（C）)()(txty；（D）)()(txty.8、若函数)(xf为可微函数，则dy（）（A）与x无关；（B）为x的线性函数；（C）当0x时为x的高阶无穷小；（D）与x为等价无穷小.9、设函数)(xfy在点0x处可导，当自变量x由0x增加到xx0时，记y为)(xf的增量，dy为)(xf的微分，xdyyx0lim等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数)(xfy在点0x处可导，且0)(0xf，则xdyyx0lim等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D）.二、求下列函数的导数：1、2lnsinxxy；2、xaycosh（0a）；3、xxysec2)1(；4、)]310ln[cos(2xy；5、设y为x的函数是由方程xyyxarctanln22确定的；6、设yyx2，232)(xxu，求dudy.三、证明textsin，teytcos满足方程)(2)(222ydxdyxdxydyx.四、已知0,0,cos)()(xaxxxxgxf其中)(xg有二阶连续导数，且1)0(g，1、确定a的值，使)(xf在0x点连续；2、求)(xf五、设,lnxxy求)1()(nf.六、计算302.9的近似值.七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？一、1、D；2、B；3、A；4、D；5、D；6、A；7、C；8、B；9、B；10、A；二、1、xxxxsin2lncos2；2、xxaacoshsinhln；3、xxxxxxxsec]12)1ln([tan)1(22sec2；4、)310tan(62xx；5、yxyx；6、xxxy2)12)(12(31.测验题答案四、1、)0(ga；2、0),1)0((210,]cos)([]sin)([)(2xgxxxxgxxgxxf.五、)!2()1()1(2)(nfnn.六、2.09.七、16.8620(公里/小时).