大一上学期同济版高数第五章习题课

1高等数学第二十九讲2习题课一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章3一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题推广的积分中值定理(积分第二中值定理)设,],[)(baCxf)(xg在],[ba上可积且不变号,则存在,],[ba使xdxgxfba)()()(fxdxgba)(证明思路:xdxgxfba)()(xdxgba)()(f想到用介值定理4证明:设M,m分别为)(xf],[ba在上的最大值与最小值,不妨设)()(xgxf)(xgm,)(xgM],[baxxdxgxfba)()(xdxgmba)(xdxgMba)(若,0)(xdxgba则,0)()(xdxgxfba故对任意结论都正确;若,0)(xdxgba],[baxdxgxfba)()(xdxgba)(mM由连续函数介值定理可知,存在,],[ba使)(f,故定理成立.则则,0)(xg5思考:例1求.1lim10xdeexxxnn解:因为]1,0[x时,xxneex10所以xdeexxxn1010xdxn1011n利用夹逼准则得01lim10xdeexxxnn说明:此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.,nx作法对吗?01limeenn原式=另法:利用积分第二中值定理原式=xdxeenn101lim111limneen06因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!,n.10说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1如,P265题47二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算。3.利用各种积分技巧计算定积分。4.有关定积分命题的证明方法。思考:下列作法是否正确?8因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!,n.10说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1如,P270题79例1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：原式nn1limnini12)(11xxd111024例2.求).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：原式nn1limnini121limnnnnini12xxd21011limnnnini12左边=右边10解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin11limnnn例3.求11例4.估计下列积分值解:因为41,412x∴xd2110xxd41102即21612202sin3cossindxxxx解：原式20(sincos)3sin2dxxx202)cos(sin2)cos(sinxxxxd212cossinarctanxx2022arctan21例5.13例6.dxxxxxI022cos2sinsin解：dxxxxI02sin2sindxxxI02sin2sin2dxxx02cos1sin2xcosarctan2042xtdtttt02sin2sin)(dxxxx02sin2sin)(14因为xxfd)(sin20对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfd)(sin2015例7.求解:令,sintex则原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26]coscotcscln[ttt6223)32(ln16.12ln02xdex例7.求解：方法二令xet21则可得)1ln(212tx原式dtt21tt023dttt22111023dtt)111(2023t()11ln21tt02323)32ln(17xdxxx332cossin解xfxxxxf2cossinxdxxcoscos2302原式＝xdxcos1230]cos03cos[230xdxxx)31ln(234例8求18例9.求积分dxxxx1121解：原式21221(1)(1)xxxdxxxdxxx11dxxx11210奇函数偶函数10212dxxx232)1(32x01)221(3219例10.0coscos)(dxeexx解：令,2tx则,2,2tdtdx被积函数是的奇函数，则t原式22dt)2cos()2cos(ttee22dteett)(sinsin020例11.432dxxx2cos1)1(解：原式22dxx2cos122dxxx2cos1432dxxx2cos1)1(20cos22xdx0432cos)1(2xdxxxsin2202)cossin(sin2xxxx24343222321例12、求4201sin()11xxxexdxeexdexexx2241sin解：原式=420sin()11xxxxeexdxee43212420sinxdx163dxxfxfdxxfaaa0)()()(22tttcbcadcos99例13.选择一个常数c,使解:令,cxt则因为被积函数为奇函数,故选择c使)(cbca即2bac可使原式为0.23例14.设解:xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(3110232212(1)20(1)d(1)6xexex))1((2xu令10d6ueue01)1(6ueue)2(61e1301()d(1)3fxx213(1)101(1)d(1)3xxex24例15设xyydtdttxF582]sin[求.xF解tdttxFx28sin)sin(28tdttxFxxxxxx222sin22sin25例16.求可微函数f(x)使其满足解:等式两边对x求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设f(x)≠0,则xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(211ln32C26注意f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfCxxf)cos2ln(21)(27例17设,022tdtftxxFx当0x时,,~2xxF求.0ftdtfxxFx02解,02tdtftxtdtfxxFx02xfx2xfx22~xxF1lim20xxFxxfx0lim2102f210f2002limxdttfxxx28例18设函数,01tdtxftxFxnnn求.)(lim20nxxxFudufnxFnx01解令,10udufnnxnxxxF20lim1210()lim2nnnxxfxnx021fn可导，且01()lim2nnxfxnxnnxxfxfn)0()(lim21029例19.设xf在,上连续，ba,为两个任意常数，求baydyxfxdd.2分析2bafxydy是定积分，含有积分变量y,是一个常数，解令yxu2则udydxuy2;2axuay2;ybuxbbaydyxf2bxaxuduf22baydyxfxdd2bxaxuduf22)(]22[2axfbxf但被积函数中不仅而且有未知参数x,所以积分结果不而是未知参数x的函数。30例20.求多项式f(x)使它满足方程解:令,txu则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:31例21.解：且由方程确定y是x的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得,3,1Cy得令故32例22.证明恒等式证:令则因此,)0()(2xCxf又4故所证等式成立.33例23设)(xf证明：令在上连续，且,0)(xf证明：在ba,内有且仅有一个实根.xbxadttfdttfx)(1)()()(1)()(xfxfx0单增abdttfa)(10)(badttf)(10batdtfb)()(0由零点定理,知由单调性可知()0x内有实根，在ba,根是唯一的.)(x34例24：证明方程xdxexx02cos1ln在),0(内有且仅有两个不同的实根。解设aexxxfln)(exxf11)(0)(xfexaef)(exxf0)(0)(xfex022sin20xdx所以方程在),0(内有且仅有两个不同的实根。0lim(),xfxlim(),xfx35例25.设证:设且试证:ttfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()]()([2故F(x)单调不减,即*成立.*xattfd)(xatft)(d2)(ax36例26.设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理))(1fq)()1(2fq10q当时,故所给不等式成立.明对于任何分域性质37例27：设在上连续，)(xf1,0)1,0(在内可导，又,)(2)1(210dxxff证在内存在，)1,0(使()0.f证明：由积分中值定理210)(2)1(dxxff12(0)2)(f)(f)0(21)(xf在上连续，1,)1,(在内可导。由罗尔定理：在内存在，)1,(0)(f注：在题设中有定积分出现，通常将其按积分中值定理先处理。38设函数)1()(2210fxdxfx存在一点,使1()().ff)()(xfxxF()()0ff]21,0[1例28证明设在闭区间[0,1]上可导，且xf(1)(1)Ff故在区间]1,[1因此存在),1,0()1,(10)(F使,0)()(