工科概率论统计2-3

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布第三节r.v.函数的分布§2.4一、离散型r.v.函数的分布二、连续性r.v.函数的分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布方法将与Y有关的事件转化成X的事件§2.4)(yfY求随机因变量Y=g(X)的密度函数或分布律问题已知r.v.X的d.f.)(xfX或分布律.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布设r.v.X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk由已知函数g(x)可求出r.v.Y的所有可能取值，则Y的概率分布为,2,1,)()(:ipyYPikyxgkki一、离散型r.v.函数的分布离散型概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例1已知X的概率分布为Xpk-101221418181求Y1=2X–1与Y2=X2的分布律解Y1pi-3-11321418181概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布Y2pi101421418181Y2pi014218381概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例2已知X的概率分布为,2,1,0,)2(kpqkXPk其中p+q=1,0p1,求Y=SinX的概率分布解)0(YP)22(0mmXP02mmpq21qp概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布)1(YP)22(0mmXP)2)14((0mmXP014mmpq41qpq)1(YP)232(0mmXP)2)34((0mmXP034mmpq431qpq概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布故Y的概率分布为Ypi-1014243111qpqqpqpq概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布已知X的d.f.f(x)或分布函数求Y=g(X)的d.f.方法：（1）从分布函数出发（2）用公式直接求d.f.二、连续性r.v.函数的分布连续性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例3已知X的d.f.为,),(baXYxfX为常数，且a0,求fY(y)解)()(yYPyFY)(ybaXP1()()YFyPXyba)(1byaFX当a0时，)(11)(byafayfXYba,例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布当a0时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1||1)(byafayfXY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例如设X~N(,2),Y=aX+b,则)(1||1)(byafayfXY2222)(||21aabyeayY~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2),)1,0(~NXY则概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例4X~E(2),Y=–3X+2,求)(yfY解)2(31|3|1)(yfyfXY他其,0032,231322yey其他,02,323)2(2yey例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例5已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解一从分布函数出发)()(yYPyFY[y)()(2yXPyFYy[yy当y0时，FY(y)=0当y0时，)(yXyP)()(yFyFXX][例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布)(yFY0,0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0,0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0,0y0,2122/1yeyy概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布解二从d.f.出发yyy1x11)(xx2x22)(xx0)(yyYyP))(())((222111xxXxPxXxxP2211))((])()[()(xxfxxfyyfXXY即当y0时)(yyYyP当y0时yyy2xy概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布21)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxfyxXyxXdxdyyfdxdyyf)()(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布2)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey0,210,0)(2yeyyyfyY故此答案是否对？0,210,0)(2yeyyyfyY应修正为概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布一般地yx1x2x3y=g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdyxfdxdyxfyf)()()()(2121xn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布特别地，若g(x)为单调函数，则1)()(1xxXYdxdyxfyfy=g(x)xyx1其中x1=g1(y)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例6设xxxfX,)1(1)(231XY求fY(y)x31xyy(1-y)3解3)1(3)1()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1(yxXdydxyfyyy,)1(1)1(362例6概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例7设X的p.d.f.为其他,00,2)(2xxxfXXYsin求的p.d.f.解故当y0或y1时fY(y)=0y•x)0(sinxxy100.511.522.530.20.40.60.81y•由图可知,Y的取值范围为(0,1)例7概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布y•arcsiny-arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81当0y1时222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212y故其他,010,12)(2yyyfY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布注意连续r.v.的函数的分布函数不一定是连续函数例如X~U(0,2)其他,020,21)(xxfX1100,1,,0)(xxxxxg令Y=g(X)xy11,110,2,0,0)(yyyyyFYFY(y)不是连续函数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布作业P69习题27282930（2）31习题