追遇问题

1追遇问题卢宗长白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829302•讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。•1．两个关系：即时间关系和位移关系•2．一个条件：即两者速度相等是分析判断的临界条件；•常见的情况有：•（1）匀减速物体追及同向匀速物体时，恰能追上或恰好追不上的临界条件为两者速度相等•（2）初速度为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速直线运动的物体时，追上之前距离最大的条件为两者速度相等白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829303•一、利用临界条件•【例1】一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰车事故？•错解：设制动后•A车的加速度大小为a=v0/t=0.5m/s2•汽车A位移:S1=v0t-at2/2=20×40-400=400m•货车B位移:s2=v2t=6×40=240（m）•两车位移差为400-240=160（m）＜180m，所以两车不相撞白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829304白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829305【例２】在平直轨道上有两辆长为L的汽车，中心相距为s。开始时，A车以初速度v0、加速度大小为2a正对B车做匀减速运动，而B车同时以加速度大小为a由静止做匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，则v0应满足的关系式为。白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829306ssAsBL白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829307【例３】火车以速率V1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a应满足关式。二、变换参考系白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829308sS１S２解法一：以地面为参考系两车位移分别为：②①④③位移及速度关系为由①②③④及题中条件得到白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829309解：以前方的火车为参考系，则后面火车的初速度为v0=v1-v2①由速度位移公式不相撞条件为刚好追上前车且不大于前车速度，其临界值为vt=0③②由①②③及题中条件得到解法二：以前面方火车为参考系白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293010•三、变换参考系•【例４】轮船在河流中逆流而上，下午7时，船员发现轮船上的一橡皮艇已落入水中，船长命令马上掉转船头寻找小艇.经过1h的追寻，终于追上了顺流而下的小艇.如果轮船在整个过程中相对水的速度不变，那么轮船失落小艇的时间是何时?白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293011解法一：以河岸为参考系橡皮艇位移：s1=v水（t1+t2）………..(1)船员逆水位移：s2=(v船-v水）t1……(2)船员逆水位移：s3=(v船+v水）t2……..(3)s3=s1+s2………….(4)（1）～（4）联立得：t2=t1=6hs1s2s3v水解法二：以河水为参考系水静止，船对水的速度逆水顺水大小相同。因此t2=t1白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293012【例５】车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。三、数学方法与物理方法S0v=6m/sa=1m/s2白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293013解法一：数学法依题意，人与车运动的时间相等，设为t当人追上车时，两者之间的位关系为：s车+s0=s人即：at2／2+s0=v人t由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。代入数据并整理得：t2－12t+50=0△=b2－4ac=1４４－4×50×1=－56＜0所以，人追不上车。△s=at2/2+s0-v0t-=0.5t2-6t+25当t=-b/2a=6s时△s有极小值△sm=(4ac-b2)/4a=7m白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293014解法二：物理法在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。at′=6得到：t′=6s在这段时间里，人、车的位移分别为s人=v人t=6×6=36（m）s车=at2/2=1×62/2=18（m）△s=s0+s车－s人=25+18－36=7m：白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293015•四、追遇与丢蕃吐问题•丢蕃吐-古希腊数学家，一生创用了一系列巧妙的方法用以解答不同类型的不定方程，后人把方程数少于末知量个数的问题称为丢蕃吐问题，物理中的丢蕃吐问题，多数需要通过二量组合视为一量而解•【例６】在平直公路上以v1的速度匀速前进着长为l=80m的队伍，一通讯员接到命令即从队尾以恒定速率V1跑到队首立即返回队尾。这段时间内队伍前进了x=60m。求•（１）V１:V２之值；•（２）此过程通讯员对地位移；•（３）通讯员跑动路程；•（４）通讯员往、返的时间比为多少？白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293016两个方程中共有三个未知量v1、v2、t，不可能使每量都有定解，可先消去t从中找到v1、v2的关系白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293017•【例７】甲、乙两车站都是每隔时间t向对方车站发出一辆汽车，设汽车以恒定速率行驶。有一人以恒定速率骑自行车由甲站向乙站去，途中每隔4分钟有一辆汽车迎头驶过，每隔6分钟有一辆汽车由后方赶过。求•（1）汽车的速率与自行车速率的比；•（2）发车时间间隔。白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293018•解：设汽车的速度为v1,自行车的速度为v2，发车的时间间隔为t，两辆汽车之间的距离为x,则•X=v1t①•X=(v1+v2)×4②•X=(v1-v2)×7③•由以上三式解得：•v1/v2=5•t=4.8s白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293019五、竖直上抛运动中的相遇条件【例8】自高为H的塔顶自由落下A物的同时B物自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动．下面说法正确的是（）A．若两物体相遇时，B正在上升途中B、两物体在地面相遇D．则两物体在地面相遇C．若两物体相遇时B物正在空中下落白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293020解析：由A、B相对运动知，相遇时间t=H/v0，B物上升到最高点需时间t1=v0/g．落回到抛出点时间t2＝2v0/g要在上升途中相遇，t＜t1，即H/v0＜v0/g。v0＞要在下降途中相遇．t1＜t＜t2，即v0/g＜H/v0＜v0/g．在最高点相遇时t＝t1，在地面相遇时．t＝t2，答案：ACD白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293021•五、追遇问题拓展•【例4】图(a)是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度.图(b)中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n、n2分别是P1、P2由汽车反射回来的信号.设测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔△t＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图(b)可知汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是多少？汽车的速度是多大？（a）（b）P1n1n2P2（b）354012白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293022•解：设汽车接收到P1、P2两个信号的时刻，汽车与测速仪的距离分别为x1和x2•图(b)中相邻两个刻度所表示的时间间隔为：•信号P1和P2从发出到被汽车反射回测速仪所用的时间分别为：、（a）P1n1n2P2（b）354012白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293023由超声波的往返运动可知：则汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为:汽车接收到P1、P2两个信号的时刻分别是图(b)中P1至n1、P2至n2的中间时刻，所以汽车接收到P1、P2两个信号之间的时间间隔为:由此可得汽车的速度为：白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293024•【例5】(04江苏卷）如图所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为vs和vA．空气中声音传播的速率为vp,设vsvp,vAvp,空气相对于地面没有流动．•(1)若声源相继发出两个声信号．时间间隔为Δt,请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程．确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔Δt′．•(2)请利用(1)的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式．xAVAVSS白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293025•（1）设t1、t2为声源S发出两个信号的时刻，•t1′t2′、为观察者接收到两个信号的时刻。•则第一个信号经过（t1′－t1）时间被观察者A接收到，•第二个信号经过（t2′－t2）时间被观察者A接收到。•且t2－t1=△tt2′－t1′=△t′一信发二信发观者初观收一观收二xAVAVSSt1t1t2t1′t2′VS白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293026t1t1′t1sALVA(t1′－t1)VP(t1′－t1)发1收1•设声源发出第一个信号时，S、A两点间的距离为L，两个声信号从声源传播到观察者的过程中，它们运动的距离关系如图所示，白笔橡皮红笔光标12345678910111213141516171819202122232425262728293027第二信号t2t2′t1t1sALVP(t2′－t2)VA(t2′－t1)Vs△t发2收2白笔橡皮红笔光标1234567891011121314151617181920212223242526272829302