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第2课时对顶角知识点对顶角的概念及性质1．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是()图6－3－122．下列说法中，正确的是()A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角D．有的对顶角不相等3.如图6－3－13所示，AB与CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝280°，则∠AOC的度数为()图6－3－13A．40°B．60°C．120°D．140°4．如图6－3－14，三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于()图6－3－14A．90°B．120°C．180°D．360°5.如图6－3－15，直线AB与CD相交于点O，已知∠AOD＝120°，则∠BOC的补角是________°.图6－3－156.若两个角是对顶角且互补，则这两个角都是________角．7．教材复习题第6题变式如图6－3－16，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠COB＝140°，则∠DOE＝________°.图6－3－168．如图6－3－17，AB，CD相交于点O，∠DOE＝90°，∠AOC＝72°.求∠BOE的度数．图6－3－179．如图6－3－18，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOC的度数．图6－3－1810．如图6－3－19，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝12∠EOC，∠AOD＝2∠BOD，求∠AOE的度数．图6－3－1911．如图6－3－20，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．图6－3－2012．如图6－3－21所示，直线AB，CD交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．(1)求∠2和∠3的度数；(2)OF平分∠AOD吗？请说明理由．图6－3－2113．如图6－3－22所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.(1)求∠DOE的度数；(2)求∠AOF的度数．图6－3－2214．2016·苏州期末如图6－3－23，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．图6－3－2315．观察图6－3－24，寻找对顶角(不含平角)：图6－3－24(1)如图①，图中共有________对对顶角；(2)如图②，图中共有________对对顶角；(3)如图③，图中共有________对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？1．D[解析]根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.2．B3．A[解析]因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD＝∠BOC.又因为∠AOD＋∠BOC＝280°，所以∠AOD＝∠BOC＝140°.因为∠AOD与∠AOC互补，所以∠AOC＝180°－140°＝40°.故选A.4．C5．60[解析]因为∠AOD与∠BOC为对顶角，所以∠AOD＝∠BOC＝120°，故∠BOC的补角为180°－120°＝60°.6．直[解析]因为两个角是对顶角，所以这两个角相等．因为这两个角互补，所以它们的度数之和为180°，所以这两个角都是90°，都是直角．7．70[解析]∵∠COB＝140°，∴∠AOD＝140°，∵OE是∠AOD的平分线，∴∠DOE＝∠AOE＝70°.8．解：因为∠BOD与∠AOC是对顶角，∠AOC＝72°，所以∠BOD＝∠AOC＝72°.因为∠DOE＝90°，所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－72°＝18°.9．解：∵OB平分∠DOE，∠DOE＝60°，∴∠BOD＝12∠DOE＝12×60°＝30°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.10．解：设∠AOE＝x，则∠EOC＝2∠AOE＝2x，故∠BOD＝∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝3x，所以∠AOD＝2∠BOD＝6x.又因为∠AOD＋∠BOD＝180°，所以6x＋3x＝180°.故x＝20°.所以∠AOE的度数为20°.11．解：因为∠AOC＝70°，所以∠BOD＝∠AOC＝70°.因为∠BOE∶∠EOD＝2∶3，所以∠BOE＝25×70°＝28°，所以∠AOE＝180°－28°＝152°.12．解：(1)因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，所以∠1＝∠COE＝40°.根据对顶角相等，可得∠3＝∠COE＝40°.根据平角的定义，可得∠2＝180°－40°－40°＝100°.(2)OF平分∠AOD.理由：根据对顶角相等，可得∠AOF＝∠1＝40°.又因为∠3＝40°，所以OF平分∠AOD.13．解：(1)∵∠AOD∶∠BOD＝2∶1，∠AOD＋∠BOD＝180°，∴∠BOD＝13×180°＝60°.∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝12∠BOD＝12×60°＝30°.(2)∠COE＝∠COD－∠DOE＝180°－30°＝150°.∵OF平分∠COE，∴∠COF＝12∠COE＝12×150°＝75°.∵∠AOC＝∠BOD＝60°(对顶角相等)，∴∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.14．解：(1)∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝68°.∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝34°.∵∠DOF＝90°，∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°.(2)∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE.∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，∴∠COE＝∠AOE＝150°.∵OF平分∠COE，∴∠FOE＝12∠COE＝12×150°＝75°.15．解：(1)如图①，图中共有1×2＝2(对)对顶角．(2)如图②，图中共有2×3＝6(对)对顶角．(3)如图③，图中共有3×4＝12(对)对顶角．(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角．(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成(2018－1)×2018＝4070306(对)对顶角．