同济大学高等数学(第七版)D12习题课

习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十二章求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;nnba,(机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动目录上页下页返回结束例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:nnnnabac0,),2,1(n则由题设)(1nnnab收敛)(1nnnac收敛])[(1nnnnaac)(1nnnac1nna收敛练习题:P2571;2;3;4;5机动目录上页下页返回结束解答提示:P257题2.判别下列级数的敛散性:提示:(1),1limnnn11nn据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,,,0N机动目录上页下页返回结束利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时,ln1110nn∴原级数发散.:2cos)3(132nnnn:)0,0()5(1sanansn用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;1s时发散.再由比较法可知原级数收敛.1s1a时发散.1a1a发散,收敛,机动目录上页下页返回结束P257题3.设正项级数和也收敛.提示:因,0limlimnnnnvu存在N0,又因)(222nnvu利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当nN时机动目录上页下页返回结束P257题4.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,nnnuvlim收敛,级数发散.nnn)1(lim11例如,取nnvnn1)1(机动目录上页下页返回结束;1ln)1()3(1nnnnP257题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;sin)1()2(1111nnnn提示:(1)P1时,绝对收敛;0p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛.故机动目录上页下页返回结束,111收敛nn11ln)1()3(nnnn因单调递减,且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;机动目录上页下页返回结束11!)1()1()4(nnnnn因nnuu11)111(12nnnnn所以原级数绝对收敛.机动目录上页下页返回结束二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论Rx•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.P257题7.求下列级数的敛散区间:练习:机动目录上页下页返回结束1解:nnnnnna)11(limlim当ex1因此级数在端点发散,enn1)11(nneunn)11()(01ne.)1,1(eee时,,1eRexe11即时原级数收敛.故收敛区间为机动目录上页下页返回结束)()(lim1xuxunnn解:因22x,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为.)2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散;机动目录上页下页返回结束例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径4121},min{RRR注意:机动目录上页下页返回结束•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和机动目录上页下页返回结束nnnxa0例3.求幂级数法1易求出级数的收敛域为x,cos2sin21xxx机动目录上页下页返回结束法2先求出收敛区间则21xxsin2,cos2sin21)(xxxxS设和函数为机动目录上页下页返回结束练习:解:(1))(21121nnnx原式)120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然x=0时上式也正确,故和函数为而在2xx≠0P258题8.求下列幂级数的和函数：级数发散,机动目录上页下页返回结束(4)nnxnn1111原式xnnttx01d1tttxxd1100x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx)10(x机动目录上页下页返回结束,)1(ln)11(1xx显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有10xx=1时,级数也收敛.即得机动目录上页下页返回结束00!)12()1(!)2()1(21nnnnnn练习:解:原式=0!)12()1(nnn1[cos21的和.1)12(n21]1sinP258题9(2).求级数机动目录上页下页返回结束四、函数的幂级数和付式级数展开法•直接展开法•间接展开法练习:1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn机动目录上页下页返回结束1.函数的幂级数展开法2.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:211x,)1(02nnnx)1,1(xxarctanxxx02d11,12)1(012nnnxn]1,1[x)(xf1212)1(1nnnxn02212)1(nnnxn于是并求级数机动目录上页下页返回结束02212)1(nnnxn12112)1(nnnxn)(xf1212)1(1nnnxn1212)1(1nnnxn12121121)1(1nnnxnn,41)1(21122nnnxn机动目录上页下页返回结束2.函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习:xyo),[上的表达式为将其展为傅氏级数.na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2,1,0(11)1(12nnenP258题11.设f(x)是周期为2的函数,它在解答提示xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2,1(1)1(12nnenn机动目录上页下页返回结束21)(exf11n),2,1,0,(kkx思考:如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理,当x=0时,有21e11n2)0()0(ff21提示:P2576(2);7(3);8(2),(3);9(1);10(1);12作业机动目录上页下页返回结束