王尚志教授谈新课标下的高中数学1

目录第一章开关电路开关电路（2）开关电路的数学表示（3）第二章布尔代数1．布尔代数（2）2．布尔代数模型—集合运算模型（1）3．布尔代数模型—命题运算模型（1）4．运算的比较（1）第三章布尔函数布尔多项式及其化简（2）布尔函数（2）第四章应用—开关电路设计开关电路设计（一）（1）开关电路设计（二）（1）一、开关电路的数学表示串联开关电路并联开关电路逆反开关电路串联开关电路电路只有两种状态：通、不通。用数字“1”表示电路“通”这种状态，用数字“0”表示电路“不通”这种状态。开关电路A的状态开关电路B的状态A与B的串联电路D的状态001101010001并联开关电路电路只有两种状态：通、不通。用数字“1”表示电路“通”这种状态，用数字“0”表示电路“不通”这种状态。开关电路A的状态开关电路B的状态A与B的并联电路D的状态001101010111逆反开关电路电路只有两种状态：通、不通。用数字“1”表示电路“通”这种状态，用数字“0”表示电路“不通”这种状态。开关电路A的状态A的逆反电路A′的状态0110二、开关电路的数学模型——0-1布尔代数集合{0，1}与三种运算+，·，′其运算规律：加法：0＋0＝0，0＋１＝１＋0＝１，１＋１＝１；乘法：0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1；逆：0′＝１，１′＝0．构成一个重要的数学模型。我们称其为0-1布尔代数，记为{{0，1}；+，·，′}。0-1布尔代数三、布尔代数与实数运算的异同{0，1}上的布尔加法、乘法运算与实数R上的加法、乘法运算有相同的性质，这些相同的性质主要有：（1）{0，1}上的布尔加法运算与实数R上的加法运算都满足结合律、交换律；（2）{0，1}上的布尔乘法运算与实数R上的乘法运算都满足结合律、交换律；（3）{0，1}上的布尔加法、乘法运算与实数R上的加法、乘法运算都满足乘法对加法的分配律。（4）它们的加法运算都有0元。相同点不同点在布尔代数中一个最基本的性质是：1+x=1，称之为0－1律，这是与实数运算最不同的性质。由这一条性质和布尔代数的其他性质，可以验证以下性质：加法对乘法的分配律：x+yz=(x+y)(x+z)吸收律：x+xy=x，x(x+y)=x幂等律：x+x=x，x·x=x但实数R上的加法、乘法运算不满足加法对乘法的分配律、吸收律、幂等律。实数R上的运算的有些性质{0，1}上的布尔运算不满足。如，对于任意a∈R，有－a∈R，使得a+(－a)=0，即R中每一个数都有它的相反数。由于0－1律，所以{0，1}上的布尔加法运算不满足上面的性质。不同点在布尔代数中，有一种特殊的运算——求逆。在实数中不具有这种运算。布尔代数具有以下性质：(x+y)’=x’y’;(xy)’=x’+y’.通常称之为德莫根公式。这些不同点在电路设计、布尔多项式、布尔函数中发挥作用。例如，一元布尔多项式没有高次项。四、一般的布尔代数任给一个集合M，它的元素可以是有限个，也可以是无限多个，若对集合的元素定义了一个加法运算“＋”，一个乘法运算“·”和一个逆运算“′”，且这三种运算都具有封闭性（即运算的结果还是M中的元素），若这些运算满足结合律、交换律、分配律、吸收律、互补律、0-1律、德莫根律、幂等律、双重逆反律九条性质，就称{M；+，·，′}是一个布尔代数。布尔代数五、布尔代数的两个具体例子集合运算命题运算集合运算集合()PX与()PX上的三种运算“∪”、“∩”、“Xð”构成一个布尔代数的模型，记为{();,,}XPXð集合运算我们可以推出P（X）上的三种运算“∪”、“∩”、“Xð”满足如下性质：（1）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（2）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（3）分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）（4）吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A（5）互补律A∪XðA=X，A∩XðA=（6）0—1律A∪X=X，A∩=（7）德莫根律()XABðXXAB痧；()XABðXXAB痧（8）幂等律A∪A=A，A∩A=A（9）双重求补律()XXAA痧集合运算把所有命题的集合记为M。这样，“∨，∧，¬”就构成集合M上的三种运算。由于集合M上的三种运算“∨，∧，¬”满足布尔代数模型的九条性质，所以，集合M与三种运算“∨，∧，¬”构成一个布尔代数模型，记为{M∨，∧，¬}。命题运算六、布尔函数多项式的函数形式如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式我们把布尔代数中的变量x，y，z，…以及常量0，1用三种布尔运算+，·，′联结起来的式子称为布尔多项式。布尔多项式的化简需要运用布尔代数的运算规律。在化简布尔多项式时，我们约定“先乘后加，略去乘号”，并随时运用布尔代数的运算律。通常，我们把布尔多项式化成乘积的和的形式。但乘积的和的形式不一定是最简形式，有时，还需要运用布尔代数的运算律进一步化简，直到变元加项数尽可能少。布尔多项式及其化简原则拉格朗日插值法问题：我们能否构造一个多项式函数y=f(x)，使得当x=x1时，y=y1;当x=x2时，y=y2;当x=x3时，y=y3;当x=x1时，y=y1;当x=x4时，y=y4？拉格朗日插值法第一步，构造特征函数我们构造函数，那么该函数满足当x=x1时，y=1;当x=x2，x3，x4时，y都等于0．同理，我们还可以构造函数当x=x2时，y=1;当x=x1，x3，x4时，y都等于0．……)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(y413121432)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(y423212431拉格朗日插值法第二步，线性组合。那么，满足条件的特征多项式为：4)2321243124131214321xx)(xx)(xx)xx)(xx)(x-(xy)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(yy（)xx)(xx)(xx)xx)(xx)(x-(xy)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(y34241432144323134213（如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式什么叫给定的布尔函数？确定布尔多项式的方法——插值法分两步来进行：第一步，确定特征函数。第二步，给出特征函数的线性组合。如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式第一步，确定特征函数。如何求出给定布尔函数的布尔多项式表达式第二步，给出特征函数的线性组合。),,(),,(),,(),,(),,(44332211zyxfazyxfazyxfazyxfazyxf),,(),,(),,(),,(88776655zyxfazyxfazyxfazyxfa七、应用电子锁的设计某公司打算在仓库门上装一把电子锁，配三把不同的钥匙，分别由主任、会计、出纳三人保管。只有三种情况才能打开锁,主任、会计在场；主任、出纳在场；主任、会计、出纳三都在场。如何设计电子锁的电路？分析理解该问题相当于三个人控制的一个开关电路，我们用x、y、z分别表示主任、会计、出纳控制的开关，用w表示整个电路的状态。w可以看作是x、y、z的一个布尔函数。我们的问题就变成如何确定这个布尔函数。问题解决第一步：根据问题要求，我们不难知道，只有当x等于1,y与z中至少有一个为1时，w为1；对于x、y、z的其它取值，w均为0。列表如下：xyzw(,,)fxyz=11100010101010010110010111100000第二步：确定函数值不为0的点的特征函数，即确定点（1，1，0），点（1，0，1），点（1，1，1）的特征函数。它们分别是：第三步：确定布尔函数。根据上面的分析，该函数的布尔多项式表示式为：==化简==这个布尔多项式就是要求的布尔函数，根据这个布尔函数可以设计相应的开关电路。zxyzyxf),,(1zyxzyxf),,(2xyzzyxf),,(3w(,,)fxyzxyzxyzxyz(,,)fxyz()xyzxyzxyzxyzxz谢谢观看