线性离散系统

8.1概述1.离散控制系统的特点2.离散控制系统的定义8.1概述1.离散控制系统的特点A/DD/A数字计算机被控对象测量元件图8.1(数字)计算机控制系统方框图r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t))(*tuA/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成数字信号。D/A：经保持、解码(信号恢复)将数字信号转化成模拟信号。数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。8.1概述1.离散控制系统的特点(a)连续信号图8.2A/D转换过程(c)数字信号(b)离散信号A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再通过量化变成以（二进制表示的）数字信号。通常，采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。8.1概述1.离散控制系统的特点(b)连续信号图8.3D/A转换过程(a)数字信号D/A转换过程是将数字信号恢复成连续信号。8.1概述数字控制系统的典型结构图图8.4与图8.1等效的离散系统结构图r(t)e(t)b(t)c(t)uk(t))(sGc)(sGh)(sGp)(sHe*(t)u(t)u*(t)TT离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。Gc(s)数字控制器的等效传递函数Gh(s)信号恢复器的传递函数Gp(s)被控对象的传递函数H(s)测量元件的传递函数8.1概述2.离散控制系统的定义离散控制系统的定义：当系统中某处或多处的信号为在时间上离散的脉冲序列或数码形式时，这种系统称为离散控制系统或离散时间控制系统。8.2信号采样与恢复1.信号采样2.采样定理3.信号恢复8.2信号采样与恢复1.信号采样采样过程：通过采样开关将连续信号变为离散信号(采样信号)的过程。输入连续信号输出离散信号x(t)t0T2T3T4T5T6T7T采样后x(t)x*(t)TT–采样周期t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T8.2信号采样与恢复1.信号采样离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅在采样时刻t=nT(n=0,1,2···)出现，而脉冲强度由nT时刻的连续函数x(nT)值来确定。)2()2()()()()0()(*TtTxTtTxtxtx0)()(nnTtnTx在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并没有本质区别。数学描述：108.2信号采样与恢复2.采样定理max22Ts香农（Shannon）采样定理：如果采样器的输入信号x(t)具有有限带宽，并且有直到ωmax的频率分量，如果采样频率满足则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中，ωs为采样频率，T为采样周期，ωmax为连续信号中最高次谐波的角频率。采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率。8.2信号采样与恢复2.采样定理采样周期的选择：工程实践表明，根据表8.1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。控制过程采样周期T/s流量1~3压力1~5液位5~10温度10~20成分10~20表8.1采样周期的T参考数据8.2信号采样与恢复2.采样定理采样周期的选择：根据工程实践经验，随动系统的采样频率可近似取为c10s即采样周期可按下式选取为cT15通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts，按下列经验公式选取：或者stT40113信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。8.2信号采样与恢复3.信号恢复mmtatataatnTf2210)(mmtatataatnTe2210)(TktkT)1(时，3.信号恢复工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号。xh(t)x*(t)零阶保持器t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)常值外推x(nT+τ)=x(nT)(0τT)8.2信号采样与恢复3.信号恢复①T取得越小，xh(t)与x(t)的差别越小；②相位滞后，xh(t)比x(t)平均滞后半个采样周期；③时域特性(单位脉冲响应)为gh(t)=1(t)-1(t-T)；④零阶保持器的传递函数为setgLsGTshh1)]([)(t0x*(t)T2T3T4T5T6T7T常值外推t0xh(t)T2T3T4T6T7Txh(t)x(t)x(t-T/2)8.3Z变换与Z反变换1.Z变换的定义2.Z变换的基本定理3.求Z变换4.求Z反变换8.3Z变换与Z反变换1.Z变换的定义离散信号x*(t)表示为0*)()()(nnTtnTxtx作拉氏变换可得0**)()]([)(nnTsenTxtxLsX令z=eTs，则得离散信号x*(t)的Z变换，并记为0*)()]([)(nnznTxtxZzXZ变换的定义：上式中的X(z)称为x*(t)的Z变换。②Z变换是对离散信号(采样脉冲序列)进行的一种变换；①z=eTs，z是一个复变量；③X(z)=Z[x*(t)]=Z[x(t)]，同一信号不同表示形式对应的脉冲序列的Z变换。8.3Z变换与Z反变换2.Z变换的基本定理设x1(z)=Z[x1(t)]，x2(z)=Z[x2(t)]，x(z)=Z[x(t)]。在Z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理，应用这些定理可使Z变换的运算变得简单方便。1)线性定理：离散信号线性组合的Z变换等于它们的Z变换的线性组合。)()()]()([22112211zXazXatxatxaZ2)滞后定理(负偏移定理、右偏移定理))()]([zXzkTtxZk上式表明时域信号滞后k个采样周期，其Z变换需乘以z-k。式中a1、a2为常数。8.3Z变换与Z反变换2.Z变换的基本定理4)(复数)位移定理)(])([aTatezXetxZ5)初值定理如果)(limzXz存在，那么)(lim)0(zXxz6)终值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的单位圆上和单位圆外均无极点，那么x(t)的终值为)()1(lim)(lim1zXztxzt3)超前定理(正偏移定理、左偏移定理)10])()([)]([kkzTxzXzkTtxZ式中a为常数。8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换1)级数求和法一种直接从Z变换的定义出发的Z变换方法。0)()(nnznTxzXZ变换的定义式例8.1求单位阶跃函数x(t)=1(t)的Z变换。x(t)=1(t)x(nT)=1(n=0,1,2,3,···)X(z)=1+z-1+z-2+···+z-n+···若|z|1，上式的无穷级数是收敛的，那么可得111)(1zzzzX利用Z变换的定义式及Z变换的基本定理，得到常用函数的Z变换表，如附录1所示。解8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换2)部分分式法当给定连续函数x(t)的拉氏变换X(s)时，欲求其Z变换，则先将拉氏变换式X(s)进行部分分式分解，然后查Z变换表，求得其对应的Z变换X(z)。assassasX11)()(例8.5已知函数X(s)=a/[s(s+a)]，求对应的Z变换X(z)。解将X(s)表示为部分分式之和对应的Z变换为aTaTaTaTezezezezzzzzX)1()1(1)(2kiiissAsX1)(kiTsiiezzAzX1)(8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换3)留数法已知连续函数x(t)的拉氏变换X(s)及其极点si(i=1,2,···,n)时，则x(t)的Z变换X(z)可通过留数计算式求得。niTsiiezzsXszX1])([Re)(nisssTrirriiiiiezzsXssdsdr111])()[()!1(1式中，ri为重极点si的个数；n为彼此不等的极点个数。8.3Z变换与Z反变换3.求Z变换例8.8连续函数x(t)的拉氏变换为)()(2assKsX求对应的Z变换X(z)。nisssTrirriiiiiezzsXssdsdrzX111])()[()!1(1)(解022])()0[()!12(1ssTezzassKsdsdassTezzassKas)()(2)()1()]1()1[(22aTaTaTaTezzaaTeezeaTKz8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换1)幂级数(展开)法—长除法022110)(nnnnnzczczczcczX已知象函数X(z)，求原函数x*(t)(离散信号、离散时间信号)的运算，称为Z反变换，记为Z-1[X(z)]=x*(t)。设象函数X(z)是z的有理函数)()(110110mnazazabzbzbzXnnnmmm将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式对应的离散信号x*(t)为01*)()]([)(nnnTtczXZtx8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.10已知象函数)2)(1(10)(zzzzX试求其Z反变换。解将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式21123110)2)(1(10)(zzzzzzzX应用长除法得321703010)(zzzzX对应的离散信号x*(t)为)3(70)2(30)(100)(*TtTtTttxx(t)在各采样时刻的值为x(0)=0；x(T)=10；x(2T)=30；x(3T)=70；···8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换2)部分分式法kiiipzA1先将X(z)/z展开成部分分式的形式，然后再乘以z，化成kiiipzzA1的形式，通过查Z变换表求得离散信号x*(t)或x(kT)或x(k)。8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.11已知)2)(1(10)(zzzzX，试求其Z反变换。210110)2)(1(10)(zzzzzzX210110)(zzzzzX查Z变换表得Ttttx/210)(110)(那么0*)()21010()(nnnTttxx(kT)或x(k)=10(-1+2k)(k=0,1,2,···)解8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换3)留数法留数法是求Z反变换的一种普遍方法。x(kT)等于函数X(z)zk-1在其全部极点上的留数和。nizzkrirrinizzkiiiiizzXzzdzdrzzXskTx111111])()[()!1(1])([Re)(8.3Z变换与Z反变换4.求Z反变换例8.13已知)5.0)(1(5.0)(zzzzX，试求其Z反变换。5.01)5.0()5.0)(1(5.0)1()5.0)(1(5.0zkzkzzzzzzzz那么0*)(])5.0(1[)(kkkTttx解nizzknizzkiizzzzszzXskTx1111])5.0)(1(5.0[Re])([Re)(),,2,1,0()5.0(1kk8.4离散系统的数学模型4.开环系统的脉冲传递函数5.闭环系统的脉冲传递函数3.脉冲传递函数的推导2.脉冲传递函数的定义1.差分方程8.4离散系统的数学模型1.差分方程离散系统各