2015年全国高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）理科数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（）（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（）（A）-1（B）0（C）1（D）2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列｛an｝满足a1=3，135aaa=21，则357aaa()（A）21（B）42（C）63（D）84（5）设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx,2(2)(log12)ff()（A）3（B）6（C）9（D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A）81（B）71（C）61（D）51（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=（A）26（B）8（C）46（D）10（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0B.2C.4D.14（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36πB.64πC.144πD.256π10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（A）5（B）2（C）3（D）2（12）设函数f’(x)是奇函数()()fxxR的导函数，f（-1）=0，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)二、填空题（13）设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．（14）若x，y满足约束条件1020,220,xyxyxy，，则zxy的最大值为____________．（15）4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a__________．（16）设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．三．解答题（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。(Ⅰ)求CBsinsin;(Ⅱ)若AD=1，DC=22求BD和AC的长.(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。20．（本小题满分12分）已知椭圆C：2229(0)xymm，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。21．（本小题满分12分）设函数2()mxfxexmx。（1）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxe，求m的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积。23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||AB的最大值。24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲GAEFONDBCM设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若abcd；则abcd；（2）abcd是||||abcd的充要条件。参考答案一．选择题（1）A（2）B（3）D（4）B（5）C（6）D（7）C（8）B（9）C（10）B（11）D（12）A二．填空题（13）12（14）32（15）3（16）1n三．解答题（17）解：（Ⅰ）1sin2ABDSABADBAD1sin2ADCSACADCAD因为ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC由正弦定理可得sin1sin2BACCAB（Ⅱ）因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD在ABD和ADC中，由余弦定理知2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC故222222326ABACADBDDC由（Ⅰ）知2ABAC，所以1AC（18）解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。（Ⅱ）记1AC表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；2AC表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；1BC表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；2BC表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1BC与2BC互斥，1122BABACCCCC，1122()()BABAPCPCCCC1122()()BABAPCCPCC1122()()()()BABAPCPCPCPC由所给数据得1212,,,AABBCCCC发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020AABBPCPCPCPC164108()0.4820202020PC（19）解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：（Ⅱ）作EMAB，垂足为M，则114,8AMAEEMAA因为EHGF为正方形，所以10EHEFBC于是226MHEHEM，所以10AH以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0),(10,10,0),(10,4,8),(0,4,8),(10,0,0),(0,6,8)AHEFFEHE设(,,)nxyz是平面EHGF的法向量，则0,0,nFEnHE即100,680,xyz所以可取(0,4,3)n又(10,4,8)AF，故||45|cos,|15||||nAFnAFnAF所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为41515（20）解：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)MMlykxbkbAxyBxyMxy将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229,299MMMxxkbbxykxbkk于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0,3kk由（Ⅰ）得OM的方程为9yxk设点P的横坐标为Px由2229,9,yxkxym得2222981Pkmxk，即239Pkmxk将点(,)3mm的坐标代入l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mkkmxk四变现OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx于是22(3)23(9)39kmkkmkk，解得1247,47kk因为0,3,1,2iikki，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形（21）解：（Ⅰ）()(1)2mxfxmex若0m，则当(,0)x时，10,()0mxefx；当(0,)x时，10mxe，()0fx若0m，则当(,0)x时，10,()0mxefx；当(0,)x时，10mxe，()0fx所以，()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的,()mfx在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()fx在0x处取得最小值，所以对于任意1212,[1,1],|()()|1xxfxfxe的充要条件是(1)(0)1,(1)(0)1,ffeffe即1,1,mmemeeme①设函数()1tgtete，则()1tgte当0t时，()0gt；当0t时，()0gt，故()gt在(,0)单调递减，在(0,)单调递增。又1(1)0,(1)20ggee，故当[1,1]t时，()0gt当[1,1]m时，()0,()0gmgm，即①式成立；当1m时，由()gt的单调性，()0gm，即1meme；当1m时，