2.5 信号流图与梅逊公式

2.5信号流图及梅逊公式2.5.1信号流图的组成信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法，是一种图示法。设微分方程如下：1,j1,2,nnjkkkjXsGsXsnixaxnijiji,2,11拉氏变换后方程为：可以用信号流图来表示以上方程组各变量之间的关系。信号流图的绘制方法：设系统的描述方程为，其中为输入变量，为输出变量，a为两个变量间的传输。该系统可以用信号流图表示为：12axx2x1x节点：表示系统中的变量的点，支路：表示变量之间的传输关系，有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。传输:表示变量从一个沿箭头传输到另一端的函数关系，传递函数表示。汇节点:只有输入量的节点，系统输出变量。前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。回路传输：闭通路中各支路传输的乘积，也称回路增益。输入节点（或源节点）：只有输出支路的节点。混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。通路：从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通路：如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。闭通路(回环)：如果通道的终点就是起点的开通道。不接触回路：回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质1）信号流图只能代表线性代数方程组。2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5）对于给定的系统，信号流图不唯一。三、信号流图的绘制方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。例1绘制二级RC滤波电路的信号流图。解（1）列写系统微分方程组u1u2R1R2C1C2i1i2i3dticuRuuidticuiiiRuui3222233213312131111)(1)(1)]()([)()(1)()()()(1)]()([)(32222332133121311sIscsURsUsUsIsIscsUsIsIsIRsUsUsI（2）对上述微分方程作拉氏变换（3）对上述代数方程作信号流图u1i1u311R-1u3i3u221R-1i1i2i3i3u2i2u3-1sc21sc11（4）综合作出系统信号流图11Ru1i1i2u3i3u2u221Rsc11sc21-1-1-1方法二：由系统动态结构图变形得来。变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。GH-Y(s)R(s)R(s)G-HY(s)系统结构图信号流图变量节点输入变量源节点比较点引出点混合节点传输线方框支路输出端汇节点1x2x1x2xab1x2xa3xbab1x1x2x2x3x4x4xabcacbc(a)()b(d)1x2xab1x2x3xabc1x3xabbc1x3x1abbc(c)1xa2xb(e)d3xc4x1x2x3x4xadacbcbd信号流图等效变换11(s)nkKKGP梅逊公式n为前向通路总数，PK为第K条前向通路总传输，∆K为信号流图特征式1abdefcLLLLLL…为所有单回路增益之和；为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；为每三个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；aLbcLLdefLLL等于流图特征式中除去与第K条前项通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。k例1用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。解:(1)找出上图中所有的前向通路只有一条前向通路11234PGGGG(2)找出系统中存在的所有的回路共有三个回路，三个回路的传输1236LGGG2345LGGG312347LGGGGG(3)这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程式为23634512347aLGGGGGGGGGGG2363451234711aLGGGGGGGGGGG(4)由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。(5)故该系统的传递函数为：11123423634512347()(s)()1PYsGRsGGGGGGGGGGGGGGG()Rs()CsABCDE11R11Cs1121R21Cs1111例2求下图传递函数()Rs()CsABCDE11R11Cs1121R21Cs1111解：L1L2L31LsCR1L111sCR1L222sCR1L12312211221LLRCsRCs相互不接触回路L1、L2，增益为前向通路只有一条，即1212121PRRCCs1sCRsCRsCRsCCRR1ΔΔPGR(s)C(s)222111221211112312211222111221(LLL)LL11111RCsRCsRCsRCRCs例3利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）解：画出该系统的信号流程图()Rs()Cs1G2G3G4G5G6G7G1H2H+-++-++()Rs()Cs1G2G3G4G5G6G7G1H2H1()Rs()Cs1G2G3G4G5G6G7G1H2H1该系统中有四个独立的回路：L1=-G4H1L2=-G2G7H2L3=-G6G4G5H2L4=-G2G3G4G5H2互不接触的回路有一个L1L2。所以，特征式Δ=1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2该系统的前向通道有三个：P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1L6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7Δ3=1-L1因此，系统的闭环系统传递函数C(s)/R(s)为272142543225462721414721346154321332211HGGHGHGGGGHGGGHGGHG1)HG(1GGGGGGGGGGGG)ΔpΔpΔ(pΔ1GR(s)C(s)