三角恒等变换与解三角形[中档大题规范练]

第二篇重点专题分层练，中高档题得高分第10练三角恒等变换与解三角形[中档大题规范练]明晰考情1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.核心考点突破练栏目索引模板答题规范练考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.核心考点突破练1.(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；解在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.解答(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.解在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为a＜c，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.解答2.已知在△ABC中，ACcosC＝BC，点M在线段AB上，且∠ACM＝∠BCM.(1)证明：△ABC是直角三角形；证明记BC＝a，AC＝b，因为ACcosC＝BC，故cosC＝BCAC＝ab＝a2＋b2－c22ab，故a2＋c2＝b2，故B＝90°，故△ABC是直角三角形.证明(2)若AC＝6CM＝6，求sin∠ACM的值.解因为∠ACM＝∠BCM，故cos∠BCA＝cos2∠BCM＝2cos2∠BCM－1，即a6＝2a2－1，解得a＝34a＝－23舍去，故cos∠BCM＝34，则sin∠ACM＝74.解答3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3，求：(1)a和c的值；解由BA→·BC→＝2，得cacosB＝2.∵cosB＝13，∴ac＝6.由余弦定理得，a2＋c2＝b2＋2accosB.∵b＝3，∴a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立ac＝6，a2＋c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.∵a＞c，∴a＝3，c＝2.解答(2)cos(B－C)的值.解在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.∵a＝b＞c，∴C为锐角，∴cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79，∴cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.解答考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.(1)求sinBsinC；4.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.解由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理，得12sinCsinB＝sinA3sinA，故sinBsinC＝23.解答(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.解由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.解答5.(2018·内蒙古集宁一中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC.(1)求角C的大小；解由23asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得，23absinC＝a2＋b2－c2，∴3sinC＝a2＋b2－c22ab，∴3sinC＝cosC，∴tanC＝33，∵C∈(0，π)，∴C＝π6.23解答(2)若acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积.解由acosπ2－B＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，得asinB＝bcosA，由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝π4.根据正弦定理可得2sinπ4＝csinπ6，解得c＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝12×2×2sin(π－A－C)＝2sinπ4＋π6＝3＋12.解答6.(2018·天一大联考)已知△ABC的内角A，B，C满足：sinA－sinB＋sinCsinC＝sinBsinA＋sinB－sinC.(1)求角A；根据sinA－sinB＋sinCsinC＝sinBsinA＋sinB－sinC，可得a－b＋cc＝ba＋b－c，化简得a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又因为0Aπ，所以A＝π3.解设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，解答(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.解由正弦定理得asinA＝2R(R为△ABC外接圆半径)，所以a＝2RsinA＝2sinπ3＝3，所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，所以S＝12bcsinA≤12×3×32＝334(当且仅当b＝c时取等号).解答考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.(2018·宜昌一中月考)已知f(x)＝12sinx＋π6cosx－3，x∈0，π4.(1)求f(x)的最大值、最小值；解f(x)＝12sinx＋π6cosx－3＝12sinxcosπ6＋cosxsinπ6cosx－3＝63sinxcosx＋6cos2x－3＝33sin2x＋3cos2x＝6sin2x＋π6，∵f(x)在0，π6上是增函数，在π6，π4上是减函数，又f(0)＝3，fπ4＝33.∴f(x)max＝fπ6＝6，f(x)min＝3.解答解答(2)CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝22，求C.(1)求函数f(x)的最小正周期；8.已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2ωx－π6x∈R，ω为常数且12＜ω＜1，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称.解答(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f35A＝14，求△ABC面积的最大值.解答9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝(2a－c，cosC)，n＝(b，cosB)，m∥n.(1)求角B的大小；解由已知可得(2a－c)cosB＝bcosC，结合正弦定理可得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sin(B＋C)，又sinA＝sin(B＋C)＞0，所以cosB＝12，又0Bπ，所以B＝π3.解答解答(2)若b＝1，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC内切圆的半径.模板答题规范练模板体验典例(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积.3审题路线图向量m∥n―→边角关系式――――――→利用正弦定理转化△ABC三边关系式――――――→余弦定理求得角B――――――→引进变量设角θ用θ表示a＋2c目标函数―→辅助角公式求最值―→求S△ABC规范解答·评分标准解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0，1分由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.3分由余弦定理可知，cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.5分(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3可知，θ∈0，2π3.由正弦定理及AD＝3，有BDsinθ＝ABsin2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD＝2sinθ，AB＝2sin2π3－θ＝3cosθ＋sinθ，所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝3cosθ＋sinθ，8分从而a＋2c＝23cosθ＋6sinθ＝43sinθ＋π6.由θ∈0，2π3可知，θ＋π6∈π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a＋2c取得最大值43.11分此时a＝23，c＝3，所以S△ABC＝12acsinB＝332.12分构建答题模板[第一步]找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步]巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.[第三步]得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.[第四步]再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求A；解在△ABC中，因为cosB＝－17，所以sinB＝1－cos2B＝437.规范演练由正弦定理得sinA＝asinBb＝32.由题设知π2＜B＜π，所以0＜A＜π2，所以A＝π3.解答(2)求AC边上的高.解在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝3314，所以AC边上的高为asinC＝7×3314＝332.解答2.(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；解在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.所以cos∠ADB＝1－sin2∠ADB＝1－225＝235.由题意知，∠ADB＜90°，解答(2)若DC＝22，求BC.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC解由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.解答3.(2018·辽师附中月考)已知m＝cosx4，1，n＝3sinx4，cos2x4，设函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间；解f(x)＝m·n＝cosx4，1·3sinx4，cos2x4＝sinx2＋π6＋12，令2kπ－π2≤x2＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ－4π