点群和空间群

[e-mail]1国际符号internationalsymbol采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。[e-mail]2熊夫利斯（Schöenfles）符号Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代表二次旋转轴。Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个对称中心。[e-mail]3Ci：表示有一个对称中心。S4：表示有一个四次旋转倒反轴。Dn：表示除了n次主旋转轴外，还包括n个与之轴垂直的二次旋转轴。Dnh：表示除了Dn的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。Dnd：表示除了Dn的对称性外，还包括n个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。[e-mail]4T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。Td：除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的对称面。[e-mail]5国际符号与熊氏符号对比国际符号熊氏符号1C12C23C34C46C6mCsCi，[e-mail]6其它注意事项由于分子没有无限周期性的限制，所以分子点群的数目要多于晶体中的点群数目32个；自然界对称性很多，例如：五度对称性，足球，富勒烯C60,buckministerfullerence，碳管[e-mail][e-mail][e-mail]9小结summary密勒指数（Millerindices）对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要！只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。[e-mail]10晶体中的点群由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，i，m,；由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群；点：所有这些对称操作下，肯定有一个点是不变的；晶体中一共有32个这样的点群；[e-mail]11空间群spacegroups晶轴和直角坐标轴[e-mail]12空间群的概念晶体的对称性，不仅包括了宏观对称元素，而且也包括了微观对称元素。平移不变性（translationinvariance）这样微观对称元素共有两个：螺旋轴（screwrotation）滑移面（glide）。[e-mail]13螺旋轴screwrotations平移对称与旋转轴对称结合，即形成“螺旋轴”。螺旋轴操作为绕此轴旋转360/n后，再沿此轴方向平移l/n周期，图形即可自身重合，其中n=1、2、3、4、6，l=1、2、…、（n-1）。螺旋轴的国际符号为21；31，32；41，42，43；61，62，63，64，65。[e-mail]14例如：国际符号31表示三次螺旋轴，平移为c/3；国际符号32表示三次螺旋轴，平移为2c/3。螺旋轴与螺旋线一样，可以有左旋和右旋之别，平移大于1/2时为左旋，平移小于1/2时为右旋，平移等于1/2时无左旋和右旋之别。[e-mail][e-mail]16滑移面slide平移对称与对称面结合即形成“滑移面”。滑移面操作为对此平面反映后，再沿平行于此平面的某个方向上平移二分之一或四分之一周期，图形即可自身重合。滑移面的国际符号为a、b、c、n、d等。[e-mail]17例如，a表示沿a轴方向的滑移面，平移a/2；n表示沿对角线方向的滑移面，平移（a/2+b/2），或（b/2+c/2）或（c/2+a/2）；d表示沿对角线方向的滑移面，但平移为（a/4+b/4），或（b/4+c/4）或（c/4+a/4）。[e-mail][e-mail]19宏观对称元素的组合，可以导出32种点群；宏观对称元素与微观对称元素的组合，可以导出230种空间群。空间群的国际符号由两部分组成，第一部分为大写字母P、C、I、F，表示14种布喇菲格子中的原始格子（P）、底心格子（C）、体心格子（I）和面心格子（F）；第二部分为对称类型的国际符号（与点群符号类似）。[e-mail]20例如空间群I2d表示四方体心格子，在沿c轴方向为四次旋转倒反轴，在a轴与b轴方向上为二次旋转轴，在a轴与b轴之间的对角线方向上为滑移面。又如空间群P21212表示是正交原始格子，沿a轴和b轴方向上为二次螺旋轴，沿c轴方向为二次旋转轴。[e-mail][e-mail][e-mail]23SpacegroupP212121(222)[e-mail]24晶轴和直角坐标轴的选择晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。[e-mail]25三斜晶系晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23所示。[e-mail]26图1-23三斜晶系中的晶轴与坐标系[e-mail]27单斜晶系晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为==90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图1-25所示。[e-mail]28图1-24单斜晶系中的晶轴[e-mail]29图1-25单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴[e-mail]30正交晶系晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶系的实例如图1-26所示。[e-mail]31图1-26酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴[e-mail]32四方晶系晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。[e-mail]33图1-27四方晶系的晶轴[e-mail]34三角晶系和六角晶系晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为==90,=120。坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图1-28和图1-29所示。[e-mail]35图1-28-石英晶体属于32点群，c轴为三次轴，a、b、d轴为二次旋转轴[e-mail]36图1-29碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴[e-mail]37立方晶系晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。[e-mail][e-mail]39summarySpacegroups，glideandscrewCrystalaxisandCartesianaxisCasestudy画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系[e-mail]40线群(linegroup)纳米线材料的出现使线群的概念得到了重新重视.ZMLietal,ApplPhysLett84(2004)4101;VNPopovetal,PhysRevB61(2000)3078;MVujicicetal,JPhysA10(1977)1271;IBozovicetal,JPhysA11(1978)2133;IBozovicetal,JPhysA14(1981)777