§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )

§3.6信号抽样与抽样定理信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用fs(t)表示。一、信号抽样toTStoTSto()ft()pt()sft抽样的原理方框图:一、信号抽样)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tg)(tp)(tf数字滤波器量化编码连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。周期信号需要解决两个问题：1.抽样信号fs(t)的频谱Fs(ω)与原连续信号f(t)的频谱F(ω)的关系；2.在什么条件下可从抽样信号fs(t)中无失真地恢复原连续信号f(t)。假设原连续信号f(t)的频谱为F(ω)，即抽样脉冲p(t)是一个周期信号，它的频谱为一、信号抽样()()ftF()()2()sjntnnsnnptPePPnssT2sTssTf11()()()()()2(()()))(snsnssnnftftptFPFFPnPnF所以抽样信号的频谱为其中，为抽样角频率，为抽样间隔，为抽样频率，在时域抽样（离散化）相当于频域周期化频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。(1)冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。一、信号抽样sss()()()npttnTn()()()()()sssnftftptfnTtnT连续信号抽样信号抽样脉冲()fts()ftT()t冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为sTTtnsnTttTPsss1de)(122j-T11()()()()2πssnsFFFnT抽样信号的频谱是以ωs为周期等幅地重复to()fto1mm()FtoTSE(1)()ptoss()P()stoTS()sftomss()sFsT/1相乘卷积频谱图：一、信号抽样(2)周期矩形脉冲抽样若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称为自然抽样一、信号抽样()()snptGtnT()()()()()ssnftftptftGtnT连续信号抽样信号抽样脉冲()fts()ft()pt在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的加权。)2(SassnnTEP()Sa()()2sssnsnEFFnT周期矩形脉冲的傅立叶系数为则抽样信号的频谱为to()fto1mm()FtoTsE()ptoss()PsE2omss()sFsTEtoTs()sft相乘卷积幅度不再是等幅，受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的加权一、信号抽样如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。二、时域抽样定理二、时域抽样定理时域抽样定理：一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示，只要抽样间隔不大于，其中为信号的最高频率，或者说，抽样频率满足条件通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。mm,()sfnTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211()ft()sft()F()sFmmmmsT(a)连续信号的频谱0000tt时域抽样定理的图解：假定信号f(t)的频谱只占据的范围，若以间隔对f(t)进行抽样，抽样信号fs(t)的频谱FS(ω)是以ωS为周期重复，在此情况下，只有满足条件各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号fs(t)保留了原连续信号f(t)的全部信息，完全可以用fs(t)唯一地表示f(t)，或者说，f(t)完全可以由恢复出fs(t)。二、时域抽样定理(,)mmsTms2如果，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。ms2二、时域抽样定理()ft()sft()sft()F()sF()sFmmmmmssTsT(a)连续信号的频谱(b)高抽样速率时抽样信号的频谱(c)低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠000000tttsss在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为的理想低通滤波器，即可从抽样信号fs(t)中无失真恢复原连续信号f(t)。三、连续时间信号的重建mctfsFFmmm)()(tSaTthCCsCsTt00sTccHtfssT0000ttss因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选，则而冲激抽样信号为三、连续时间信号的重建1()()ssnsFFnT0)(sCCTHsmcm()()()sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2()()()()()()()ssssnnftftptfttnTfnTtnT则连续低通滤波器的输出信号为说明：（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值；（2）若在抽样信号的每个样点处，画出一个峰值为的Sa函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。三、连续时间信号的重建()()()()()())()(CssssCsCnnsfthtfnTtnTTSftfnatTSatnT()sfnT注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。三、连续时间信号的重建原因解决方法有限时间内存在的信号，其频谱理论上是无限宽的在信号被抽样之前，首先通过低通滤波器（称为防混叠低通滤波器）理想低通滤波器无法实现逼近理想低通滤波器的特性实际中的抽样一般是平顶的矩形脉冲抽样在用低通滤波器之前，加一个频率响应为1/P(ω)的补偿低通滤波器假设连续频谱函数为F(ω)，抽样频谱函数为FS(ω),即在频域抽样有假设FS(ω)对应的时间信号为fs(t)，则有四、频域抽样与频域抽样定理()()()()()ssssnnFFnFnn1()()ssnsftftnT说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号f(t)，如果时间只占据的范围，则信号f(t)可以用等间隔的频率抽样值唯一地表示，抽样间隔为，它必须满足条件，其中(,)mmtt()sFnsmstT22ssT例：大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。四、频域抽样与频域抽样定理t1()ft0TT22Et()sft0TT22E解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：（1）信号在时域周期化，周期为T，则频谱离散化，抽样间隔为ω0＝2π/T。（2）信号在时域抽样，抽样间隔为TS，则频谱周期化，重复周期为ωS＝2π/TS。四、频域抽样与频域抽样定理矩形单脉冲信号的频谱0()2FESa010()2()2mmEFSamT周期矩形信号的频谱频域抽样频谱周期化，重复周期为ωS＝2π/TS。10001()()()2ssnssnmsFFnTEnSanmT时域抽样抽样间隔为TS周期矩形信号四、频域抽样与频域抽样定理四、频域抽样与频域抽样定理attf10ttf00E)(0F022Eb1F0220ETT2cde222Ettfs0sF022sTE0TTf22EsT2sT2