中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)

第五章基本极限定理班级姓名学号成绩2013-2014-1-18-1.设随机变量X的数学期望()EX，方差2()DX，则由契比雪夫不等式3XP19。2.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据契比雪夫不等式6YXP112。3.在一次试验中，事件A发生的概率为21，利用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400～600的范围内？解：X表示在1000次重复独立试验中事件A发生的次数,则1~1000,2XB.于是:1()1000500,2EXnp11()100025022DX(400600)(500100)PXPX2250(100)10.975100PXEX.因此可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400～600的范围内.4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6之间的概率不小于90%？解：设n表示掷n次铜币正面出现的次数，则1(,)2nBn，1()2nEn，1()4nDn{0.40.6}{0.50.1}nnPPnn2()25110.90.1nDnn250n注：事实上，由中心极限定理{0.40.6}{0.40.6}nnPPnnn0.60.50.40.5*0.25*0.25nnnnnn20.210.9n0.20.951.96n0.21.96n解之得96.0365n，所以，至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6之间的概率不小于90%。5.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作，求整个系统工作的概率。解：设整个系统中有X个部件能正常工作，则~100,0.9XB，系统工作的概率为85184PXPX841000.911000.90.11220.97726.设,,,,21nXXX为独立随机变量序列，且(1,2,)iXi服从参数为的指数分布，试求：xnnXPniin1lim。解：因iX服从参数为的指数分布,故:第五章基本极限定理班级姓名学号成绩2013-2014-1-19-211,.iiEXDX211(),().nniiiinnEXDXxnnXPniin1lim12limniinnXPxn111limnniiiinniiXEXPxDX221ed()2πtxtx.