高等数学 1 函数的单调性与函数的极值及最值

Chapter4(3)函数的单调性与函数的极值及最值教学要求：1.掌握用导数判断函数的单调性的方法;2.掌握用导数求函数极值的方法;3.掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用..函数单调性的判别法一.函数极值的判别法二.函数的最值三1.定义：,,21Ixx;)(),()(,2121上单增在则若时当Ixfxfxfxx.)(),()(,2121上单减在则若时当Ixfxfxfxx具有正斜率的切线.函数单调性的判别法一xoy)(xfy0)(xf0)(xg具有负斜率的切线xoy)(xgy2.判别法定理1.设f(x)在区间I上可导.;)(,0)(,(1)上单增在则若对于一切IxfxfIx.)(,0)(,(2)上单减在则若对于一切IxfxfIxProof..21Ixx,Lagrange],[21中值定理得上用在xx.),)(()()(211212xxxxfxfxf.012xx又).()(,0)(0)((1)12xfxffxf则若;)(上单增在Ixf).()(,0)(0)((2)12xfxffxf则若.)(上单减在Ixf注意:(1)该判别法为充分条件判别法.(3)判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.(4)y=f(x)连续可导的条件不可少，有导数不存在的点时，函数的单调性须重新考虑.(5)对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性.(6)利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间，还可证明不等式、讨论根的存在性.(2)函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．Example1..,)(2区间判定其单调性并求单调设xxexfSolution.).,()(的定义域为xf)2()(22xxeexfxx),21(22xex,0)(xf令.22x得列表讨论如下:x)22,(22)22,22(22),22()(xf00)(xf],22,22[)(的单增区间为xf).,22()22,(和单减区间为Example2..32的单调区间确定xySolution.).,(32的定义域为xy,323xy没有导数为0的点,但x=0为不可导点.列表讨论如下:x)0,(0),0(y不存在y),,0(32的单增区间为xy).0,(单减区间为如图.xoyExample3..1arctan)1ln(,0xxxx证明时当Proof.当x=0时,等号成立.,arctan)1ln()1()(,0xxxxfx设时当2111)1ln()(xxxf)0(01)1ln(22xxxx所以f(x)单调递增.从而,),0()(,0fxfx时当.0)0(f且.0arctan)1ln()1()(xxxxf.1arctan)1ln(xxx即Example4..111bbaababa证明Proof.).1(1)(xxxxf设2)1()1()(xxxxf0)1(12x所以f(x)单调递增.,baba),()(bafbafbabababa11即babbaa11.11bbaaExample5.,0)(上二次可微在设axxf,0)(,0)0(xff且.),0()(内单增在证明axxfProof.,)()(xxfxF设.)()()(2xxfxfxxF).()()(xfxfxxG又设)()()()(xfxfxxfxG所以G(x)单调递增.)0()(,0GxGx时当.0)()(xfxfx即.0)(xF所以F(x)单调递增..),0()(内单增在axxf).0(0)(axxfx.0)0(fExample6..)0(ln有几个实根方程aaxxSolution.),0(ln)(xaxxxf设,1)(axxf.1,0)(axxf得令.0)(,1)1(xfax时当.)(单调递增xf,)(lnlim)(lim00axxxfxx且,11ln1aaf,011ln,1aea时当,011ln,1aea时当,10时有一实根故当ea.1时没有实根当ea.0)(,1)2(xfax时当.)(单调递减xf,)(lnlim)(limaxxxfxx且,11ln1aaf,011ln,1aea时当,011ln,1aea时当,10时有一实根故当ea.1时没有实根当ea.,ln,1)3(exexxea则时当,10,时方程有两实根当综上所述ea,1时没有实根当ea.1exea时有一实根当.函数极值的判别法二1.函数极值的定义与图形:xoy注意:(1)极值是局部性质.(2)极大值不一定比极小值大，反之亦然.2.极值存在的必要条件定理1..0)(,,)(000xfxxxf则为极值点若可导在设函数------Fermat定理注意:(1)导数为0的点称为函数的驻点.)0)((0xf(2)可导函数的极值点一定是驻点.(3)驻点只是可能的极值点.:03的情况在考虑xxy,0,032是驻点得由xxy.03的极值点不是但xyx如图.xoy(4)极值点应包含在驻点和不可导点之中.:0的情况在考虑xxy,0处不可导在由定义可得xxy.0的极值点是但xyx如图.xoy3.极值存在的第一充分条件定理2..0)(,),()(00xfxUxf且内可导在设函数,0)(,0)((1)00xfxxxfxx时当时当).()(00xfxxf处取得极大值在则,0)(,0)((2)00xfxxxfxx时当时当).()(00xfxxf处取得极小值在则,0)(0)(),~((3)0xfxfxUx或时当.)(0不是极值则xfProof.,0)(,(1)0xfxx时当故f(x)单调递增.).()(0xfxf,0)(,0xfxx时当故f(x)单调递减.).()(0xfxf).()(,),~(00xfxfxUx都有时即.)(0为极大值xf同理可证得结论(2),(3)成立.由极值的定义来证明.极值存在的第一充分条件的图形记忆法.极大xoy0:y极小xoy0:y没有极值xoy:yxoy:y4.极值存在的第二充分条件定理3.则且内二阶可导在设.0)(,0)(,),()(000xfxfxUxf.,0)((1)00为极小值点则若xxf.,0)((2)00为极大值点则若xxfProof.000)()(lim)()1(0xxxfxfxfxx0)(lim00xxxfxx,0)(,0xfxx时当.0)(,0xfxx时当.0是极小值点从而x同理可证得(2)成立.注意:(1)使二阶导数不为0的点一定是极值点..,,)(0)()2(00只能用第一充分条件定不能用第二充分条件判不存在或若xfxf5.求极值的步骤).((1)xf计算(2)求出驻点和不可导点.(3)由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4)求出极值点处的函数值即得全部极值.Example7..211232)(23的极值求xxxxfSolution.).,()(的定义域为xf).2)(1(61266)(2xxxxxf.2,1,0)(21xxxf得令列表讨论如下:x)1,(1)2,1(2),2()(xf00)(xf极大极小,28)1(f极大值为.1)2(f极小值为Example8..)52()(32的极值求xxxfSolution.).,()(的定义域为xf.3)1(10)(3xxxf.1,0)(xxf得令.0为不可导点且x列表讨论如下:x)0,(0)1,0(1),1()(xf不存在0)(xf极大极小,0)0(f极大值为.3)1(f极小值为Example9..1)1()(32的极值求xxfSolution.).,()(的定义域为xf.)1(6)(22xxxf.1,0,1,0)(xxxxf得令列表讨论如下:x)1,(1)0,1(0)1,0(1),1()(xf000)(xf极小.0)0()(fxf只有极小值注:也可用二阶导数来判定极值!Example10..)(,21210)(的极值求设xfxxxxxfSolution..01)(,10xfx时当.01)(,21xfx时当.)(没有驻点xf1)1()(lim)1(1xfxffx但,1112lim1xxx1)1()(lim)1(1xfxffx,111lim1xxx.1为不可导点x列表讨论如下:x)1,0(1)2,1()(xf不存在)(xf极大.1)1()(fxf有极大值Example11..;,,2,1,ln)(2小值并确定是极大值还是极求有极值处在设baxxxbxxaxfSolution.,12)(bxxaxf,2)(2bxaxf,2,1)(处有极值在xxxf.0)2(,0)1(ff,0142012baba即.61,32ba.3132)(2xxf从而,031)1(f;)1(是极小值f,061)2(f.)2(是极大值f.函数的最值三1.闭区间[a,b]上可导函数f(x)的最值..)(,),(),(),(max1nxfxfbfafM.)(,),(),(),(min1nxfxfbfafm.),,2,1(为驻点其中nixi2.闭区间[a,b]上连续函数f(x)的最值..)(,),(),(,),(),(),(max11mntftfxfxfbfafM.)(,),(),(,),(),(),(min11mntftfxfxfbfafm;),,2,1(为驻点其中nixi.),,2,1(为不可导点mjtj3.开区间(a,b)或无穷区间上的最值.这时可能有最值，可能没有最值.对于(a,b),.,)(lim),(lim都小则没有最小值最大值处的函数值都大则没有比驻点和不可导点若xfxfbxax.,)(lim),(lim),,(都小则没有最小值最大值处的函数值都大则没有点比驻点和不可导若对于xfxfxx4.f(x)在I内可导,且只有唯一一个驻点x0时的最值..)(0为极大值时即为最大值当xfxoy.)(0为极小值时即为最小值当xfxoy5.实际问题的最值若驻点x0为极值点,0x0x实际问题中,可根据问题的性质判定可导函数有最值,而且在区间内部取得.若f(x)在区间内部只有一个驻点,则一定在驻点处取得最值.Example12..]23,0[)2()1()(32上的最值在求xxxfSolution.223)2(3)1()2)(1(2)(xxxxxf)75()2)(1(2xxx2,57,10)(321xxxxf得令(舍去),8)0(f,0)1(f,3125108)57(f.321)23(f,0)1(f最大值为.8)0(f最小值为而Example13.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大