高等数学 下册-全微分 ppt课件

第八章*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:由全增量公式,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量xxx因此有xzxx0limA机动目录上页下页返回结束反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理1的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx机动目录上页下页返回结束]),([yyxxf定理2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数yx在点可微.机动目录上页下页返回结束0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(oxxu推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),,(zyxfuud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分.zzuduzd的全微分为yyuzzu于是机动目录上页下页返回结束uuuzyxd,d,d例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexz例2.计算函数的全微分.解:udyyd)cos(221yz,yxeyyxexzyez机动目录上页下页返回结束可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:已知V,100,20hr)1(2005.01002022V即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则rrh2hr21,05.0hr)cm(2003高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例4.计算的近似值.解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2f08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx机动目录上页下页返回结束分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(令z的绝对误差界约为yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δz的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(机动目录上页下页返回结束则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzzδδyxyδyx•乘除后的结果相对误差变大•很小的数不能做除数机动目录上页下页返回结束例5.利用公式1.030,01.03.8,01.05.12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：aSaSδδaCbδsin211800δ,01.0δδ,30,3.8,5.12CbaCba故绝对误差约为又所以S的相对误差约为30sin3.85.1221bCaδsin21CCabδcos2194.25计算三角形面积.现测得机动目录上页下页返回结束bbSδccSδ例6.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知4624IUR(欧)所以R的相对误差约为IURIURδδδ0.3+0.5R的绝对误差约为RRδ0.80.3;定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032(欧)=0.8机动目录上页下页返回结束求用欧姆内容小结1.微分定义:zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δyyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(δ机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P72题1(总习题八)函数),(yxfz在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.2.选择题D机动目录上页下页返回结束答案:z03.0,101.0,2yyxx02.0zd03.0,101.0,2yyxx03.0也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P73题7机动目录上页下页返回结束zfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(4.设解:xxxfcos3)0,0,(0cos3)0,0,0(xxxfx41利用轮换对称性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx机动目录上页下页返回结束(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性答案:作业P241(3),(4);3;5;8;105.已知第四节目录上页下页返回结束在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,),(yxf而证:1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0,0(f故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连机动目录上页下页返回结束证明函数xy222yx所以),(yxfx,)0,0(),(时当yx,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理221sinyx3222)(yxyx),(lim)0,0(),(yxfxxx极限不存在,),(yxfx在点(0,0)不连续;同理,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0||21sinx33||22xx)||21cosx2)3)题目目录上页下页返回结束,)()(22yx4)下面证明)0,0(),(在点yxf可微:yfxffyx)0,0()0,0(说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目目录上页下页返回结束