高等数学 极限运算法则

目录上页下页返回结束第一章二、极限的四则运算法则一、无穷小运算法则第六节极限运算法则目录上页下页返回结束一、无穷小运算法则定理1.两个无穷小的和还是无穷小.推广:有限个无穷小之和仍为无穷小.无限个无穷小之和是否仍为无穷小???目录上页下页返回结束定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例1.求解:01limxx利用定理2可知说明:y=0是的水平渐近线.xxysin目录上页下页返回结束二、极限运算法则定理3推论1.)(lim)](lim[xfCxfC(C为常数)推论2.nnxfxf])(lim[)](lim[(n为正整数)目录上页下页返回结束思考：是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,矛盾.问是否一定不存在?问是否一定不存在?问1.2.3.答:不一定不存在.目录上页下页返回结束定理4.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3直接得出结论.目录上页下页返回结束例2.设n次多项式试证).()(lim00xPxPnnxx证:)(lim0xPnxx其中都是多项式,试证:证:0lim()xxFx)(lim)(lim00xQxPxxxx若例3.设有分式函数目录上页下页返回结束733221lim53xxxx3221lim53xxxx32212103例求解思考：若怎么求函数极限？3222lim(1)lim(53)xxxxxx=3时分母为0!31lim3xxx例4.)3)(3()1)(3(lim3xxxxx目录上页下页返回结束例5.求解:x=1时,3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因目录上页下页返回结束结论：2.已知分式函数若则若求去公因子再求1.已知多项式则目录上页下页返回结束练习：求解:原式)(型目录上页下页返回结束例6.求解:22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则“抓大头”原式221111lim(439)lim(52)xxxxxx目录上页下页返回结束先用x3去除分子及分母然后取极限解:例7例6求52123lim232xxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx例7求12352lim223xxxxx例8解解因为052123lim232xxxxx所以12352lim223xxxxx所以目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110目录上页下页返回结束例9.求解:令932xxuux3lim6131lim3xx∴原式=6166目录上页下页返回结束例10.求解:方法1,xu则,1lim1ux令11112uuxx1u∴原式)1(lim1uu2方法21)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2目录上页下页返回结束例11.解:231,0()1,01xxyfxxxx求0lim(),lim(),lim().xxxfxfxfx0(0)lim()xffx0lim(1)xx0(0)lim()xffx12301lim()1xxx10lim()1xfx故lim()xfx231lim()1xxx0lim()xfxlim(1)xx目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(要求分母不为0)0)2xx时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”目录上页下页返回结束作业P301(2),(3),(8),(9),(12),2(2),3,5第六节目录上页下页返回结束结论：2.已知分式函数若则若求去公因子再求1.已知多项式则目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110目录上页下页返回结束求极限方法举例例1解目录上页下页返回结束例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得目录上页下页返回结束例3解)00(型(消去零因子法)目录上页下页返回结束解：原式又例:求)00(型目录上页下页返回结束例4解)(型(无穷小因子分出法)目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例5解先变形再求极限.