利用正余弦定理解三角形

复习课:解三角形枣庄十八中秦真教学目标重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题.能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力.教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1.正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：2222cosabcbcA，2222cosbacacB，2222coscabacC，222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab3.111sinsinsin222ABCSabCbcAacB4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：coscosabCcB，coscosbaCcA，coscoscaBbA26.三角形内角的诱导公式（1）sin()sinABC，cos()cosABC，tantan()CAB，cossin22cAB，sincos22CAB，...在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinsinsinabcABC，可求出角C，再求,bc.(2)已知两边,bc与其夹角A，由2222cosabcbcA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边,,abc，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解a=b无解无解一解ababsinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解8.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手三、【范例导航】题型（一）：正、余弦定理1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．在ABC中，已知23a，62c，45B，求b及A；322222212cos236222362cos4512624331822bacacBb解析：（）(2)求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：2222222262231cos2222262bcaAbc60A解法二：23sinsinsin45,22aABb622.41.43.8,2321.83.6,又,090acA即60A变式训练1（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定答案：A【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题题型（二）：三角形面积例2．在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解法一：（先解三角方程，求出角A的值。）21sincos2cos(45),cos(45).22AAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinA4SACABAABC1212232643426sin()。解法二：（由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。）sincosAA22①211(sincos),2sincos,0180,sin0,cos0.221(sin2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62②①+②得sinA264。①－②得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？变式训练2（2009北京理）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，5又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.题型（三）：正、余弦定理判断三角形形状例3．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径变式训练3（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得22251113cos02511C，所以角C为钝角四、【解法小结】1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角学中的射影定理：在△ABC中，AcCabcoscos，…63．两内角与其正弦值：在△ABC中，BABAsinsin，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。五、【布置作业】必做题：1.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=()（A）030（B）060（C）0120（D）01502.（2010湖北理数）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D633.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=4.（2009湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b选做题6.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.7.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.作业答案1．A2.D3.14.2,2,35.b=46.A=1200，ABC是等腰的钝角三角形7.56AB（第7题）六、【教后反思】1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现解三角形知识，直观简明；其次，例题选择典型，并关注高考中常出现的有关三角形的问题，讲练结合，学生落实较好；再次，题目注重一题多解，关注变式训练；最后，在作业的布置上，选择高考中的低档题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：在一些具体问题中，学生在用正弦定理解决已知两边及其中一边的对角的问题中出现一解两解及无解的情况时容易出错，而例题中涉及的笔墨较少，有些遗憾.