高考数列不等式的证明常用方法

高考常用数列不等式的证明方法知识点1.放缩为等比数列证明：2311111...313131312n2.裂项放缩1.1222(1)2(1)21nnnnnnnn2.221111111422nbnnnn证明：1.22211151...233n2.1112121...223nnn3.构造函数放缩1.ln(x+1)≤x证明：设*2Nnn时，，求证：1!ln!33ln!22lnnn证明：求导数可证ln(x+1)≤x1ln2*nnNnn时，，故!1)!1(1!1!lnnnnnnn1!11)!1)!1(1()!31!21()!211(!ln!33ln!22lnnnnnn4.数学归纳法1.（2012广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列。（1）、求a1的值；（2）、求数列{an}的通项公式。（3）、证明：对一切正整数n，有12311113...2naaaa.解：（1）在11221nnnSa中令1n得：212221Sa令2n得：323221Sa解得：2123aa，31613aa又21325aaa解得11a（2）由11221nnnSa212221nnnSa得12132nnnaa又121,5aa也满足12132aa所以132nnnaanN对成立∴11+232nnnnaa∴23nnna∴32nnna（3）（法一）∵1111132332233233nnnnnnn∴1113nna∴21123111311111113...1...1333213nnnaaaa2.数列{}na中，11a，2123nnaann，（*nN）．(Ⅰ)试求、的值，使得数列2{}nann为等比数列；(Ⅱ)设数列{}nb满足：112nnnban，nS为数列{}nb的前n项和．证明：2n时，65(1)(21)3nnSnn．解：（Ⅰ）若2{}nann为等比数列，则存在0q，使221(1)(1)()nnannqann对*nN成立。…………………2分由已知：2123nnaann，代入上式，整理得2(2)(1)(23)0nqaqnqn………①……………4分∵①式对*nN成立，∴20102300qqq解得211q……………………………………5分∴当1，1时，数列2{}nann是公比为2的等比数列…………6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：2211(11)2nnanna，即122nnann所以12112nnnbann……………………………8分∵221111111422nbnnnn…………………………9分2n时，1231111111355511222222nnSbbbbnn21511332n…………………………11分现证：6(1)(21)nnSnn（2n）3.数列na中,已知112(1)2,().52nnnnaaanNan（1）求数列na的通项公式;（2）设11(1)2nnnnaabnn,求数列nb的前n项和nT，求证:101nT解:（1）112(1)2122(1)nnnnnnnaanaanana11121111112(2),222nnnnnnnannnnnnaaaaaa111111111222(2)()2222212nnnnnnnnnnnnnaaaa（2）由1112122111()(1)2(12)(12)21212nnnnnnnnnaabnn知2111()2512nnT，所以101nT4.(2011年全国)设数列na满足10a且1111.11nnaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设111,,1.nnnnknkabbSn记S证明：解：（I）由题设1111,11nnaa即1{}1na是公差为1的等差数列。又1111,.11nnaa故所以11.nan（II）由（I）得11,11111nnabnnnnnnn，11111()11.11nnnkkkSbkkn5.数列na的前n项和为)()1(*2NnnnanSnn（1）求通项na;（2）设),1111(321nnSSSST求证：1nT解:(1)nnanSnn2)1(,1n时,2,221111aaSa2n时,)1()1(211nnnaSnn1nnnSSannann2)1()]1()1([21nnnannnaannn2)1(1,,21nnaa21anan2(2)nnnnnnSnnSnannn111)111()1(11),1(,21111nnSn)11111(1321nnnSSSSST)1()1()1()1(121nnnSSSST1111)111()111()3121()211(nnnnn*Nn1nT6.在数列,nnab中,112,4ab,且1,,nnnaba成等差数列,11,,nnnbab成等比数列.⑴求234,,aaa及234,,bbb,由此猜测,nnab的通项公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512nnababab.（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，，由此可得2233446912162025ababab，，，，，．·········································2分猜测2(1)(1)nnannbn，．·····································································4分用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即2(1)(1)kkakkbk，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakkkkkbkb，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)nnannbn，对一切正整数都成立．·································7分（Ⅱ）11115612ab．n≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)nnabnnnn．····································9分故112211111111622334(1)nnabababnn……111111116223341nn…111111562216412n综上，原不等式成立．·················································································12分7.（Ⅰ）设数列{na}满足,,3,2,1,5,1211naaann证明对所有的1n，有:（i）141nnaa;（ii）.3131131131121naaa证明:（Ⅰ）由数学归纳法知，0na，121452221nnnnaaaa，141nnaa……2分对2k，有1)14(414145212121kkkkkaaaaa3141444211kkkkaa，kka41311。对所有的1n，有nna4131131)411(31414141311311311221nnnaaa，.3131131131121naaa……8分8.(2011广东理科)设0b，数列{}na满足1ab，1122nnnnbaaan(2)n．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，1112nnnba．（1）解：∵1122nnnnbaaan，∴1122nnnabanan，∴1211nnnnabab①当2b时，1112nnnnaa，则{}nna是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nnna，即2na②当0b且2b时，11211()22nnnnabbab当1n时，122(2)nnabbb∴1{}2nnab是以2(2)bb为首项，2b为公比的等比数列∴112()22nnnabbb∴212(2)2(2)nnnnnnnbabbbbb∴(2)2nnnnnbbab综上所述(2),02222nnnnnbbbbabb　且，　　　　　（2）方法一：证明：①当2b时，11122nnnba；②当0b且2b时，12212(2)(222)nnnnnnbbbbb122112(1)12(1)(1)(1)2222222nnnnnnnnnnnnnnnnnbnbbabbbnbb11111111211111112222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbb1112nnb∴对于一切正整数n，1112nnnba．方法二：证明：①当2b时，11122nnnba；②当0b且2b时，要证1112nnnba，只需证11(2)122nnnnnnbbbb，即证1(2)122nnnnnbbbb即证1221112222nnnnnnnbbbbb即证122111()(222)2nnnnnnbbbbnb即证2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbbnbbbb∵2112231122221()()2222nnnnnnnnbbbbbbbb2121232111222()()()()2222nnnnnnnnbbbbbbbb212123211122222222222nnnnnnnnbbbbnbbbb，∴原不等式成立∴对于一切正整数n，1112nnnba．9.(2011年广东文科)设0b，数列{}na满足1ab，111nnnnbaaan(n≥2)．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2na≤11nb．（1）解：∵111nnnnbaaan，∴111