高考数列总复习(完整)

在数列高考知识点大扫描知识网络数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()nafn奎屯王新敞新疆2、等差数列1、定义当nN,且2n时，总有1,()nnaadd常，d叫公差。2、通项公式1(1)naand3、前n项和公式由1211,nnnnnSaaaSaaa，相加得12nnaaSn，还可表示为1(1),(0)2nnnSnadd，是n的二次函数。特别的，由1212nnaaa可得21(21)nnSna。4、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若2acb，则称b为a与c的等差中项．5、等差数列的性质：（1）mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；特别地，若2npq（n、p、*q），则2npqaaa．（2）nS，2nnSS，32nnSS成等比数列．（3）若项数为*2nn，则SSnd偶奇，．（4）若项数为*21nn，则2121nnSna，1SnSn奇偶3、等比数列1、定义当nN,且2n时，总有1(0)nnaqqa,q叫公比。2、通项公式：11nnmnmaaqaq,在等比数列中，若2mnpqr,则2mnpqraaaaa.3、、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项．4、等比数列的前n项和的性质：（1）mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa．（2）nS，2nnSS，32nnSS成等比数列。5、前n项和公式:由12231,nnnnnSaaaqSaaaa，两式相减，当1q时，11(1),(1)11nnaaqaqSqqq；当1q时，1nsna。关于此公式可以从以下几方面认识：①不能忽视11(1)11nnaaqaqSqq成立的条件：1q。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。如，公差为d的等差数列{}na，212nnnSaxaxax，则231121nnnnnxSaxaxaxax，相减得211(1)nnnnSxaxdxdxax，当1x时，111(1)(1)1nnnndxxSxaxaxx，12112(1)1(1)nnnnaxaxdxxSxx当1x时，；第一节等差数列的概念、性质及前n项和题根一等差数列{an}中，69121520aaaa，求S20[思路]等差数列前n项和公式11()(1)22nnaannnSnad：1、由已知直接求a1，公差d.2、利用性质qpnmaaaaqpnm[请你试试1——1]1、等差数列{an}满足121010aaa，则有（）A、11010aaB、21000aaC、3990aaD、5151a2、等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求13S。第1变求和方法——倒序相加法[变题1]等差数列{an}共10项，123420aaaa，12360nnnnaaaa，求Sn.[思路]已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。[请你试试1——2]1、等差数列{an}前n项和为18，若1S3,123nnnaaa,求项数n.2、求和122nnnnnSnCCC。第2变已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和[变题2]在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(mn)，求Sn+m的值。[思路],,mmnSSSn下标存在关系：m+n=m+n,这与通项性质qpnmaaaaqpnm是否有关？[请你试试1——3]1、在等差数列{an}中，15S6，55S9，求S15。2、在等差数列{an}中，1S3，3S9，求S12。第3变已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和[变题3]在等差数列{an}中，20S10，40S20，求S30[思路]由2030,,SSS10寻找102030,,SSSSS1020之间的关系。[请你试试1——4]1、在等差数列{an}中，123aa，346aa，求78aa第二节等比数列的概念、性质及前n项和题根二等比数列{an}，574,6aa,求a9。[思路]1、由已知条件联立，求，从而得2、由等比数列性质，知成等比数列。[请你试试2——1]等比数列{an}，10,2aq，若，则_______。第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列[变题2]等比数列{an}，1234562,6aaaaaa，求101112aaa。[思路]等比数列中，连续若干项的和成等比数列。[请你试试2——2]1、等比数列{an}，1q时，242,6SS，求6S。2、等比数列{an}，1q时，261,21SS，求4S。第三节常见数列的通项求法一、公式法例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。二、累加法例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。例3已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。三、累乘法例4已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。四、作差法例5（数列{na}的前n项和为nS，且满足11a，2(1)nnSna.求{na}的通项公式五，构造法例6数列na中，若21a，nnnaaa11，求数列na的通项公式na。例7数列。求通项中nnnnaaaaa,12,1,11第四节常见数列求和方法1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nknnnkn2333331(1)1232nknnkn3．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求22222212979899100的和。7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．2．错位相减法求和例2．已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.3.裂项相消法求和例3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn4.倒序相加法求和例4求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210求值：5．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。第四节递推数列的通项公式及前n项和综合例1．数列{na}的前n项和为nS，且满足11a，2(1)nnSna.（1）求{na}的通项公式；（2）求和Tn=1211123(1)naana.例2．已知数列}{na，a1=1，点*))(2,(1NnaaPnn在直线0121yx上.（1）求数列}{na的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321nNnanananannfn且，求函数)(nf最小值.例3．设数列na的前n项和为nS，且1nnScca，其中c是不等于1和0的实常数.（1）求证:na为等比数列；（2）设数列na的公比qfc，数列nb满足111,,23nnbbfbnNn，试写出1nb的通项公式，并求12231nnbbbbbb的结果.例4．已知数列na的前n项的和为nS，且0,21nnnnSnSSa，921a.（1）求证：nS1为等差数列；（2）求数列na的通项公式．例5．已知数列na是首项为114a，公比14q的等比数列，设1423lognnba()nN，数列nc满足nnncab.（Ⅰ）求证：数列nb成等差数列；（Ⅱ）求数列nc的前n项和nS；