切比雪夫滤波器设计

第十七讲3.切比雪夫滤波器的设计方法4.模拟滤波器的频率变换-----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计3.Chebyshev低通滤波器的设计方法Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点Chebyshev低通滤波器的三个参量Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布Chebyshev低通滤波器的设计步骤提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数22221()()1()aNpAHjCChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x3-3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)11cos(cos)1()()1NNxxCxchNchxx等波纹幅度特性单调增加前两项给出后才能迭代下一个Chebyshev多项式的特性cxN=0,4,5切比雪夫多项式曲线N的影响：N越大阻带衰减越快阶数N影响过渡带的带宽，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数2()1/1paHj2）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：通带外：迅速单调下降趋向0p221()1aNpHjC–N为偶数2(0)1/1aHj–N为奇数(0)1aHj通带内：在1和间等波纹起伏p21/10切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：2max2min22maxmin2()10lg()1()1()1AAAA：通带截止频率，给定p：表征通带内波纹大小由通带衰减决定220.110lg(1)101设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表示，在Ωs处的A2(Ωs)为：2221()1()ssNPAC令λs=Ωs/Ωp，由λs1，有121211211()[()]1()11[1]()()111[1]()NsssssspsCchNchAchANchchNA可以解出滤波器阶数N的确定3dB截止频率Ωc的确定22211()2()1,1()[()]ccNccpNccACCchNch按照(6.2.19)式，有通常取λc1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：111[()]cpchchN令书上该公式有错4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp。有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明：21sin()2,1,2,3,,21cos()2ipipishNiNichN122222211()1iippshNshch上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为Ωpchξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：111121()21()2111NNNNab(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bΩp，短半轴为aΩp的椭圆上的点。设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即11()()aNiiHpcpp(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为111()2()aNNiiHppp(6.2.33a)11()2()NpaNNipiHssp去归一化后的传输函数为图6.2.8三阶切比雪夫滤波器的极点分布5）Chebyshev低通滤波器的设计步骤:0.12101ssp1111()schkNch1ppp归一化：pPsS1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及：0.1110.1101101spk其中：p3）求出归一化系统函数：()aaapsHsHpH（）=或者由N和，直接查表得()aHpp其中极点由下式求出：4）去归一化11/(21)(21)sin[]cos[]221()2()()()piaNNiiaapskkpshjchNNHpppHsHp例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。解(1)滤波器的技术指标：0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff(2)求阶数N和ε：11110.1110.1110.10.01()()1016553101(6553)9.474.6,52.06(4)1011010.1526sppsaaachkNchkchNNch此过程可直接查表(3)求归一化系统函数Ha(p):5(51)11()0.15262()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：2211()2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp(4)将Ha(p)去归一化，得到：/7261427141()()(1.015810)(6.2788104.245910)11.6437102.259510paapsHsHpsssss此过程也可直接查表完成小结：模拟滤波器设计的步骤),(cN通带截止频率、通带衰减pp阻带截止频率、阻带衰减ss确定滤波器的技术指标：将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通原型滤波器的参数–Butterworth低通滤波器–Chebyshev低通滤波器(,,,)pcN构造归一化低通原型滤波器的系统函数反归一4.模拟滤波器的频率变换----模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换，分别由低通滤波器的传输函数求得，因此不论设计哪一种滤波器，都可以先将该滤波器的技术指标转换为低通滤波器的技术指标，按照该技术指标先设计低通滤波器，在通过频率变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤波器传输函数。符号规定归一化模拟低通模拟高通、带通、带阻模拟域频带变换():Gssjpj归一化频率：归一化拉氏变量称为归一化传输函数归一化拉氏变量：归一化频率：)()(qHjηqjssHsps:00:0---0sppsp1)低通到高通的频率变换λ和η之间的关系为11()()HjGj低通到高通的频率变换关系为模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：①低通滤波器通带截止频率；②低通滤波器阻带截止频率；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。sp's'p/1/1'pp'/1ss()()cpsHsGp例6.2.3设计高通滤器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减αs=15dB。解①高通技术指标要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB归一化频率1,0.5pspsppffff11,23,15psspsdBdB②低通技术要求：③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1()221psspssppspspkkNNGpppp33223()()222cpcccscpsHsGpsssf④求模拟高通H(s)：带通与低通滤波器的幅度特性η与λ的对应关系2)低通到带通的频率变换112220/,//,/sssslluuluBBBB:0sccs:0sccs11022:0ss11022:0ss220220由η与λ的对应关系，得到：2202201upul由表6.2.2知λp对应ηu，代入上式中，有带通滤波器的归一化带宽为1低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。由于220220pjqpq将q=jη代入上式，得到：为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：22()()()()luulluulspsspsHsGp(6.2.44)(6.2.45)归一化低通到任意带通系统函数的转换公式两个环节:1.归一化低通到归一化带通；2.归一化带通到任意带通下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率Ωu，带通下限频率Ωl下阻带上限频率Ωs1,上阻带下限频率Ωs2通带中心频率Ω20=ΩlΩu，通带宽度B=Ωu-Ωl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,,,sslssluuluBBBB(2)确定归一化低通技术要求：λs与-λs的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λs，这样保证在较大的λs处更能满足要求。通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs(3)设计归一化低通G(p)。(4)反归一:直接将G(p)转换成带通H(s)。22222010211,,sspssss222()()()()luulluluulspssspssBHsGp6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×200rad/s，中心频率Ω0=2π×1000rad/s，通带内最大衰减αp=3dB，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻带最小衰减αs=15dB。解(1)模拟带通的技术要求：Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模拟归一化低通技术指标要求：22222010211,1.833,1.874sspssss取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN取N=3，查表6.2.1，得232()1()221()()luulspsGpppp