空间向量基本定理在解题中的应用习题课

1思考2练习巩固思考1引入正交分解本课小结作业:课本107P第10题空间向量基本定理在解题中的应用(习题课)2前面我们定义了空间向量的加、减、数乘、数量积四种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四种运算来处理.空间向量基本定理的应用(习题课)空间向量的正交分解另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有空间向量基本定理，也就是说：已知三个不共面向量abc、、，那么对于空间任一向量p，都存在有序实数组,,xyz，使得pxaybzc，而这种表示式是唯一的.把,,abc叫做空间的一个基底,,,abc叫做基向量.这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.3如果基向量ijk、、是空间三个两两垂直的向量,那么对空间任一向量p,存在一个有序实数组,,xyz使得pxiyjzk.把xiyjzk、、分别称为向量p在ijk、、上的分向量,这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.显然这种正交分解更有利于我们的问题解决,因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.练习巩固下面通过一些练习来体会这种方法.4答案练习2练习1.已知空间四边形OABC的四条边及ACBD、的长都等于1,点MNP、、分别是OABCOC、、的中点,且OAa,OBb,OCc,⑴用abc、、表示,MNMP;⑵求MNMP.分析:⑴这种表示式的寻找,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.⑵运用⑴的结果,可以把MNMP的计算转化为基向量abc、、的有关运算来处理,而且不用添辅助线及作证明.5练习1.已知空间四边形OABC的四条边及ACBD、的长都等于1,点MNP、、分别是OABCOC、、的中点,且OAa,OBb,OCc,⑴用abc、、表示,MNMP;⑵求MNMP.略解:⑴MNMOON11()22OAOBOC=1()2abcMPOPOM=1()2ca⑵易知12abbcca,2221abc,∴MNMP146练习2.在长方体1111ABCDABCD─中,2AB,2BC,16AA,且记ABa,ADb,1AAc,⑴用abc、、表示11,BDBC;⑵求异面直线1BD和1BC所成角的余弦值.D1C1B1A1ABCD解:⑴11BDBAADDD=abc11BCBBBCcb⑵∵0abbcca,2224,4,36abc,∴11BDBC-32,1BD211,1BC210118110cos,110BDBC∴异面直线1BD和1BC所成角的余弦值为4110557思考1.已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SASBSC，,MN分别是AB，SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值奎屯王新敞新疆答案分析：要求异面直线SM与BN所成角的余弦值，只要求SM与BN所成的角的余弦值.而适当选取一组基底,可把关于SM与BN的计算转化为基向量的有关运算来简便处理.8解：设SAa，SBb，SCc，则12abbcac，∵1()()2SMBNSASBSNSB11()()22abcb2111()222acabbcb1111111(1)2222222，所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为23．∴122cos,3||||3322SMBNSMBNSMBN，点评：设出空间的一个基底后，求数量积SMBN的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN都化为用基向量表示就可以了奎屯王新敞新疆本题中SM与BN的夹角是异面直线SM与BN所成角的补角奎屯王新敞新疆9思考2:如图，长方体1111ABCDABCD中，4ABBC，E为11AC与11BD的交点，F为1BC与1BC的交点，又AFBE，求长方体的高1BB．答案分析：本题的关键是如何利用AFBE这个条件.在这里可利用0AFBEAFBE将其转化为向量数量积问题奎屯王新敞新疆而适当选取一组基底,又可把AFBE的计算转化为基向量的有关运算来简便处理.10解:设1,,ABaADbAAc，则0abbcca，2222||16,||16aabb则11BEBBBE＝1()2cba1()2AFABBFacb∵AFBE∴BEAF＝0即[1()2cba][1()2acb]＝0∴2221110242cba∴22||8cc，即所求高122BB．点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：AFBE0AFBE的应用问题奎屯王新敞新疆11学习小结:通过问题解决,可以看到适当地选取基底,空间向量都可用基向量来表示,这样不仅可以使解题的目标变得明确,思考的方向性强,而且有关的运算也将会简化.作业:课本107P第10题