空间向量复习课件

珠海市第二中学潘越空间向量在立体几何中的应用一、基本知识点直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为21,nn（若只涉及一个平面，则用n表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。1、平行问题（结合图象，直观感觉）1）线线平行bkabaml////2）线面平行0//nanal3）面面平行2121////nknnn2、垂直问题（结合图象，直观感觉）1）线线垂直0babaml2）线面垂直nkanal//3）面面垂直02121nnnn3、夹角问题1）异面直线CDAB,所成的角（范围：20）coscos,.ABCDABCDABCD2）线面角（范围：20），nanana,cossinABCDna,22,na3）二面角（范围：0）4、距离问题1）点A到点B的距离：222)()()(BABABAzzyyxxAB2）点A到线l的距离d在直线l上任取点B，aABaABaAB,coscos，2cos1sin，sinABd21,nn21,nn1212cosnnnn1212cosnnnn3）点A到面的距离d在平面上任取点BnABnABnAB,coscosnnABnABnABABABdcos4）直线l到平面的距离：在直线l上任取一点A，转化为点A到面的距离d5）平面到平面的距离：在平面上任取一点A，转化为点A到面的距离d1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC′→＝xAB→＋2yBC→－3zC′C→，则x＋y＋z等于__________．2．如图，空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝12MA，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－13a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c3．已知矩形ABCD，P为ABCD外一点，PA⊥面ABCD，G为△PAC的重心，则13(AB→＋AD→＋AP→)＝__________.5.已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？6．点A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点__________共面(填是或否)．7．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.55B.555C.355D.1158．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，且a∥b，则xz＝__________.9．已知OA→＝(1,1,1)，则与OA→平行的单位向量e是__________．10．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．11．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.2B.3C．2D.5考向二利用向量求直线与平面所成的角【例2】►如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[审题视点]转化为三角形内角求解不易，故考虑用向量法求解，注意向量的夹角与直线与平面所成角的关系．解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D­xyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，即DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得2m＝2m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系．(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系．【训练2】(2010·辽宁)已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1，12，0.(1)证明：CM→＝(1，－1，12)，SN→＝－12，－12，0，因为CM→·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM⊥SN.(2)NC→＝－12，1，0，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM→·a＝0NC→·a＝0∴x－y＋12z＝0，－12x＋y＝0，取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|cos〈a，SN→〉|＝－1－123×22＝22，所以SN与平面CMN所成角为45°.考向三利用向量求二面角【例3】►(2011·全国新课标)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值．[审题视点]会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是相等还是互补．(1)证明因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)．AB→＝(－1，3，0)，PB→＝(0，3，－1)，BC→＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·PB→＝0.即－x＋3y＝0，3y－z＝0.因此可取n＝(3，1，3)．设平面PBC的法向量为m，则m·PB→＝0，m·BC→＝0.可取m＝(0，－1，－3)，则cos〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角A­PB­C的余弦值为－277.求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【训练3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．(1)证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,22，0)，D(0,22，0)，P(0,0,2)．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2,22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1,0,1)．∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(2)解由(1)知平面BEF的一个法向量n1＝PC→＝(2,22，－2)，平面BAP的一个法向量n2＝AD→＝(0,22，0)，∴n1·n2＝8.设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝84×22＝22，∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.阅卷报告12——对法向量夹角与二面角大小关系认识不清导致失误【问题诊断】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量的夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点．【防范措施】正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等．17．已知向量n＝(1,0，－1)与平面α垂直，且α经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到α的距离为()A.32B.22C.2D.32218．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A.32B.24C.12D.3320.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离.NMABDCO24．如图所示，已知四棱棱P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．(1)证明：面PAD⊥面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．25.如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离.PDBCA