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│二次函数的图象及其性质·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1二次函数的概念一般地，如果________________(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．[注意]二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征是：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;②二次项系数a≠0.y＝ax2＋bx＋c│考点聚焦·江苏科技版考点2二次函数的图象及画法1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线________为对称轴的抛物线．2．用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的步骤．(1)用配方法化成________________的形式．(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图．[注意](1)|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五点，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．－b2a，4ac－b24ax＝－b2ay＝a(x－h)2＋k│考点聚焦·江苏科技版考点3二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)aa0a0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a│考点聚焦·江苏科技版顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a[注意]应结合图形理解二次函数的性质．│考点聚焦·江苏科技版考点4用待定系数法求二次函数的关系式用待定系数法可求二次函数的关系式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法；(1)设一般式：_______________________.若已知条件是图象上的三个点，将已知条件代入所设一般式，求出a、b、c的值．(2)设顶点式：_______________________.若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，将已知条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将关系式化为一般形式．(3)设两根式：_____________________________.若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入所设两根式，求出待定系数a，最后将关系式化为一般形式．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)·江苏科技版│归类示例►类型之一二次函数的定义归类示例命题角度：1．二次函数的概念2．二次函数的一般式例1[2011·泰安]若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353则当x＝1时，y的值为()A．5B．－3C．－13D．－27D│归类示例·江苏科技版(1)已知条件是图象上的三点的坐标(或函数解析式三对对应值)，代入二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c中，得关于a、b、c的方程组是求函数解析式的常用方法．(2)选择点最好是坐标轴上的点．│归类示例·江苏科技版►类型之二二次函数的图象与性质命题角度：1．二次函数的图象及画法2．二次函数的性质例2(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．·江苏科技版[解析](1)根据配方法的步骤进行计算，(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标，列表，注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点不要弄错．(3)开口向上，在抛物线的左边，y随x的增大而减小．(4)抛物线y＝x2－4x＋3与y＝2的交点的横坐标即为方程x2－4x＋3＝2的两根．解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.(2)对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－1)．x…01234…y…30－103…y＝x2－4x＋3的图象如图．│归类示例·江苏科技版(3)y1y2(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4为方程x2－4x＋3＝2的两根．画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五点，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．│归类示例·江苏科技版►类型之三二次函数的图象与性质的综合运用命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用例3[2011·贵阳]如图15－1所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．图15－1·江苏科技版[解析](1)将(3,0)代入二次函数解析式y＝－x2＋2x＋m；(2)令y＝0，解一元二次方程；(3)由S△ABD＝S△ABC，得C、D关于二次函数对称轴对称．解：(1)将点A(3,0)代入二次函数解析式，得－32＋2×3＋m＝0.解得m＝3.(2)二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝3，x2＝－1.故点B的坐标为(－1,0)．(3)∵S△ABD＝S△ABC，点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数的对称轴对称．∵对称轴为x＝1，点C的坐标为(0,3)，∴点D的坐标为(2,3).│归类示例·江苏科技版(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究二次函数性质的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标求二次函数解析式，一般用待定系数法直接列方程(组)求解．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．·江苏科技版回归教材教材母题[江苏科技版九下P22读一读]学会“读”图从二次函数y＝x2－4x＋3的图象(图15－2)，可以“读”出许多信息．比如图象告诉我们：图15－2·江苏科技版当x＝2时，y有最小值，最小值是－1；当x＜2时，y随x增大而减小；当x＞2时，y随x增大而增大．图象还告诉我们：它与x轴交于两点M(1,0)、N(3,0)，并且在点M左侧和点N右侧的图象都在x轴的上方，在这两点之间的图象在x轴的下方．这就是说：当x＝1、x＝3时，y＝0，也就是说，x＝1、x＝3是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；当x＜1或x＞3时，图象上所有点的纵坐标都大于0.也就是说，当x＜1或x＞3时，y＞0，即x2－4x＋3＞0；当1＜x＜3时，图象上所有点的纵坐标都小于0.也就是说，当1＜x＜3时，y＜0，即x2－4x＋3＜0.·江苏科技版中考变式1．抛物线y＝(x＋3)(x－1)的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝－3D．x＝32．[2011·威海]二次函数y＝x2－2x－3的图象如图15－3所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是()A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞3图15－3BA·江苏科技版3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是A(－1,0)、B(3,0)，与y轴的交点是C点，顶点是D点．若四边形ABDC的面积是18，求抛物线的解析式．解：作出示意图如图所示，设对称轴与x轴的交点为E点，，则D点坐标为(1，－4a)，因为抛物线与x轴的交点是(－1,0)，(3,0)，代入抛物线解析式得a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，解得b＝－2a，c＝－3a.·江苏科技版则△BDE的面积为12EB·DE＝12×2×|4a|＝4|a|；△AOC的面积为12AO·CO＝12×1×|3a|＝32|a|；直角梯形OCDE的面积为12(CO＋DE)·OE＝12(|3a|＋|4a|)×1＝72|a|.从而四边形ABDC的面积等于4|a|＋32|a|＋72|a|＝9|a|＝18，所以a＝±2.因此，抛物线的解析式为y＝2x2－4x－6或y＝－2x2＋4x＋6.