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│等腰三角形·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1等腰三角形的概念和性质1．定义：有两________相等的三角形是等腰三角形．2．性质：(1)等腰三角形两腰________；(2)等腰三角形的两个底角________，简称______________．(3)等腰三角形的顶角________，底边上的______，底边上的________互相重合，简称____________．(4)等腰三角形是轴对称图形，有___________条对称轴．边相等相等等边对等角平分线中线高线三线合一一或三│考点聚焦·江苏科技版[注意](1)等腰三角形两腰上的高相等；(2)等腰三角形两腰上的中线相等；(3)等腰三角形两底角的平分线相等；(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．│考点聚焦·江苏科技版考点2等腰三角形的判定1．定义法．2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称____________．[注意](1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．等角对等边│考点聚焦·江苏科技版考点3等边三角形1．等边三角形的定义________相等的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质(1)等边三角形的三条边相等．(2)等边三角形的每个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，并且有________条对称轴．[注意]等边三角形具有等腰三角形的所有性质．有三边三│考点聚焦·江苏科技版3．等边三角形的判定(1)三边相等的三角形叫做等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有两个角等于60°的三角形是等边三角形；(4)有一个角等于60°的________三角形是等边三角形．等腰│考点聚焦·江苏科技版考点4线段的垂直平分线1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．2．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________________上．[点拨]线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合．相等垂直平分线·江苏科技版│归类示例►类型之一等腰三角形的性质的运用归类示例命题角度：1．等腰三角形的性质2．等腰三角形“三线合一”的性质3．等腰三角形两腰上的高、中线、两底角的平分线的性质例1[2011·株洲]如图21－1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，点D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC长．图21－1│归类示例·江苏科技版[解析](1)利用AC的垂直平分线交AB于点E和等边对等角求解．(2)证明△BEC是等腰三角形．解：(1)解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠ECD＝∠A＝36°.·江苏科技版(2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∠BEC＝72°＝∠B，∴BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.1．利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．2．在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．·江苏科技版►类型之二等腰三角形的判定命题角度：等腰三角形的判定例2[2011·扬州]已知如图21－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．图21－2·江苏科技版[解析](1)利用△BDC≌△CEB，证明∠DCB＝∠EBC.(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到叫两边的距离相等，证明结论．解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DCB＝∠EBC，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．·江苏科技版(2)点O在∠BAC的角平分线上．连接AO.∵△BDC≌△CEB，∴BD＝CE.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO.∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O在∠BAC的角平分线上．要证明三角形是等腰三角形：(1)需证明三角形的两边相等；(2)证明有两个角相等，等角对等边．·江苏科技版►类型之三等腰三角形的多解问题命题角度：1．对等腰三角形的腰分类讨论2．对等腰三角形的底角分类讨论3．对等腰三角形的高分类讨论例3[2010·宿迁]数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN(如图21－3)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画________个．图21－33·江苏科技版[解析]首先以A为直角顶点AB为腰，在射线AN上能找到一点C，使△ABC是以AB、AC为腰的等腰直角三角形；其次以B为直角顶点BA为腰，在射线AN上能找到一点C，使△ABC是以BA、BC为腰的等腰直角三角形；最后以C为直角顶点CA为腰，所确定的点C，与以点A为直角顶点确定的点C是同一点．这是动点探究类问题，属于中考高频题．解答这类问题需要分类讨论，首先确定顶点与腰，然后作图，就能准确无误的找出各个点．这类题关键是作标准图．·江苏科技版►类型之四等边三角形的判定与性质例4[2011·绍兴]数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图21－4.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．图21－4·江苏科技版小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图21－5①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填“”“”或“＝”)．图21－5·江苏科技版(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“”“”或“＝”)．理由如下：如图21－5②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．·江苏科技版解：(1)＝(2)＝方法一：如图，等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC(AAS)，∴DB＝EF，∴AE＝BD.·江苏科技版方法二：在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE(AAS)，∴DB＝EF，而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.∴AE＝DB.(3)1或3.等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．