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│解直角三角形及其应用·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．[点拨]在Rt△ABC中，∠C＝90°，则(1)三边关系：a2＋b2＝________；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角关系：sinA＝cosB＝________，cosA＝sinB＝________，tanA＝________.c290°acbcab│考点聚焦·江苏科技版考点2解直角三角形的类型1．已知斜边和一个锐角；2．已知一直角边和一个锐角；3．已知斜边和一直角边(如c和a)；4．已知两条直角边a、b.│考点聚焦·江苏科技版考点3运用三角函数解实际问题在实际问题中，通过构造直角三角形模型，利用解直角三角形知识进行求解．在解直角三角形时常用词语：(1)仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做________，视线在水平线下方的叫做________．(2)坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫________，用字母i表示，即i＝________，把坡面与水平面的夹角叫做________，记作α，于是i＝________＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．仰角俯角坡度hl坡角hl│考点聚焦·江苏科技版(3)方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图25－1：图25－1·江苏科技版归类示例►类型之一利用直角三角形解决和高度有关的问题命题角度：1．计算某些大型建筑物的高度2．将实际问题转化为直角三角形问题·江苏科技版例1[2011·淮安]图25－2(1)为平地上一幢建筑物与铁塔图，图25－2(2)为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD＝30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度．图25－2·江苏科技版[解析]设过点A的水平线与CD交于点E，分别在两个直角三角形中利用三角函数求解．解：设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝30m，故CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝(303＋30)(m)．答：铁塔CD的高度为(303＋30)m.·江苏科技版在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺子直接测量的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺、测角仪、木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．·江苏科技版►类型之二利用直角三角形解决平面图形有关的距离问题命题角度：1．计算不能用尺子直接测量出的两地之间的距离2．将实际问题转化为直角三角形问题例2[2011·无锡]如图25－3，一架飞机由A处向B处沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D.飞机在A处时，测得山头C、D在飞机前方，俯角分别为60°和30°.飞机飞行了6千米到达B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．图25－3·江苏科技版[解析]据题目中的俯角可以求出∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∠BAD＝30°，进而得到∠ACB＝90°，利用AB＝6千米求得BC的长，然后求得C、D两点间的水平距离，进而求得C、D之间的距离．解：在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB·tan30°＝6×33＝23.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB·cos30°＝6×32＝33.过点C作CE⊥BD于点E，则∠CBE＝60°，CE＝BC·sin60°＝92.∴BE＝BC·cos60°＝332，DE＝BD－BE＝23－332＝32.·江苏科技版∴在Rt△CDE中，CD＝CE2＋DE2＝922＋322＝21(千米)．答：山头C、D之间的距离为21(千米)．解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可．·江苏科技版►类型之三利用直角三角形解决航海问题命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题2．将实际问题转化为直角三角形问题例3[2011·济宁]日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图25－4，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，·江苏科技版这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125图25－4·江苏科技版解：过点P作PC⊥AB，垂足为点C，设PC＝x海里．在Rt△APC中，∵tanA＝PCAC，∴AC＝PCtan67.5°＝5x12.在Rt△PCB中，∵tanB＝PCBC，∴BC＝xtan36.9°＝4x3.∵AC＋BC＝AB＝21×5，∴5x12＋4x3＝21×5，解得x＝60.∵sinB＝PCPB，∴PB＝PCsinB＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里)．∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．·江苏科技版►类型之四利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1．利用直角三角形解决坡度和坡角问题2．将实际问题转化为直角三角形问题例4庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图25－5，已知小山北坡的坡度i＝1∶3，北坡坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)图25－5·江苏科技版[解析]由题意通过作辅助线构造两个有公共边的直角三角形，再由解直角三角形的知识可求得山坡AB的长，要使得李强和庞亮同时到达山项，只要将庞亮登到山顶的时间算出即可得李强的速度．解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，tanC＝13＝33，∴∠C＝30°∴AD＝12AC＝12×240＝120(米)．在Rt△ABD中，∠B＝45°∴AB＝2AD＝1202(米)，1202÷(240÷24)＝1202÷10＝122(米/分钟)．答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.·江苏科技版转化是解直角三角形的关键，解斜三角形一般要通过辅助线把斜三角形转化为几个直角三角形，再解直角三角形．·江苏科技版回归教材教材母题[江苏科技版九下P55问题2]为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢(精确到0.1m)?图25－6·江苏科技版[解析]如图25－6，点C表示气球的位置，点A、B表示小明两次观测气球的位置．点A、B、D在一条直线上.CD⊥AD.CD的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度．要计算CD.可以利用Rt△ACD及Rt△BCD，先找出BD、CD与已知量的数量关系，再计算CD.解：如图25－6，由题意知，∠CAD＝27°，∠CBD＝40°，AB＝50m，点A、B、D在一条直线上，CD⊥AD.设BD＝xm，CD＝hm，在Rt△ACD中，tan27°＝h50＋x，h＝(50＋x)·tan27°.在Rt△BCD中，tan40°＝hx，h＝xtan40°.·江苏科技版得(50＋x)·tan27°＝tan40°x，所以x＝50tan27°tan40°－tan27°，h＝50tan27°tan40°－tan27°×tan40°，利用计算器得h＋1.6≈66.5(m)．答：气球的高度为66.5m.[点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．·江苏科技版中考变式[2011·南京]如图25－7，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得塔顶B的仰角为37°(点B、D、E在一条直线上)．求电视塔的高度h.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图25－7·江苏科技版[解析]在直角△EDC中，利用∠E的正切可以求出EC，在直角△BAC中，可以得出AB＝AC＝h，所以再在直角△BEA中，利用∠E的正切可以得出AE与AB的关系，从而得到关于h的方程，求出h即可．解：∵在Rt△ECD中，tan∠DEC＝DCEC.∴EC＝DCtan∠DEC≈300.75＝40(m)．在Rt△BAC中，∠BCA＝45°，∴BA＝CA.在Rt△BAE中，tan∠BEA＝BAEA.∴hh＋40＝0.75.∴h＝120(m).答：电视塔高度约为120m.