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《图形的相似与解直角三角形》达标检测训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011·天津)sin45°的值等于()【答案】BA.12B.22C.32D．1【解析】sin45°＝22.2．(2011·武汉)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A．12秒B．16秒C．20秒D．24秒【解析】如图所示，过点A作AB⊥MN，垂足为B，C、D为MN上两点且AC＝AD＝200(米)，则火车从C点开始到D点时，A处受噪音影响．在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，∴AB＝12OA＝120(米)．∴BC＝CA2－AB2＝2002－1202＝160(米)．∴CD＝2BC＝320(米)．又∵72千米/时＝20米/秒，∴A处受影响的时间为320÷20＝16(秒)．【答案】B3．(2010中考变式题)在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D为AC上一点且AD＝12，在AB上取一点E，使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长应为()A．16B．14C．16或14D．16或9【解析】∵∠A＝∠A，①当AEAB＝ADAC时，△AED∽△ABC，则AE24＝1218，∴AE＝16；②当AEAC＝ADAB时，△AED∽△ACB，则AE18＝1224，∴AE＝9.综上所述，AE的长为16或9.【答案】D4．(2011·贵阳)如图所示，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是()A．2.5B．22C.3D.5【解析】由勾股定理得OB＝OA2＋AB2＝22＋12＝5，∴这个交点表示的实数是5.【答案】D5．(2012中考预测题)如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是()A.247B.73C.724D.13【解析】设CE为x，则BE＝AE＝8－x，在Rt△BCE中，BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，∴x＝74，tan∠CBE＝CEBC＝746＝724.【答案】C6．(2012中考预测题)在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3B．8,6C．4,3D．4,6【答案】A【解析】根据“相似三角形周长的比等于对应的边的比，面积的比等于对应边的比的平方”易求得C△DEF＝16×12＝8，S△DEF＝12×14＝3.7．(2011·海南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对【解析】由∠ACB＝90°，CD⊥AB可得△ACD∽△ABC∽△CBD，故有3对相似三角形．【答案】C8．(2010中考变式题)在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝12，cosB＝32，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【解析】∵sinA＝12，∴∠A＝30°，cosB＝32，∴∠B＝30°，∴∠C＝120°，∴△ABC为钝角三角形．【答案】B9．(2010中考变式题)如图，某人站在楼顶C观测对面笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么旗杆AB的高度是()A．(82＋83)米B．(8＋83)米C．(82＋833)米D．(8＋833)米【解析】在Rt△BCE中，EB＝EC＝8米；在Rt△AEC中，AE＝CE·tan30°＝8×33＝833，∴AB＝AE＋EB＝(8＋833)米．【答案】D10．(2010中考变式题)如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两棵树间的坡面距离为()A．5mB．6mC．7mD．8m【答案】A【解析】坡面距离为42＋0.75×42＝5m.11．(2011·铜仁)已知：如图所示，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是()A.DEBC＝ADDBB.AEBC＝ADBDC.DECB＝AEABD.ADAB＝AEAC【解析】∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DECB＝AEAB.【答案】C12．(2012中考预测题)如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是()A．24mB．25mC．28mD．30m【解析】由题意可得BQ＝AP，且△BQE∽△BAC，设BQ＝x(m)，则BQBA＝QEAC，即x20＋2x＝1.59，解得x＝5，所以AB＝5＋20＋5＝30(m)．【答案】D二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2011·株洲)如图所示，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是________米．【答案】40【解析】在Rt△ABC中，sinA＝BCAB，∴BC＝ABsinA＝80×12＝40(米)．14．(2011·南京)如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于________．【解析】连接AB，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，所以cos∠AOB＝cos60°＝12.【答案】1215．(2011·扬州)如图所示，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C点看A、B两岛的视角∠ACB＝________°.【解析】∠ACB＝180°－30°－45°＝105°.【答案】10516．(2012中考预测题)九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得下图所放风筝的高度，进行了如下操作：(1)在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长度为70米；(3)量出测倾器的高度AB＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为________米．(精确到0.1米，3≈1.73)【解析】由题意得DE＝AB＝1.5米，在Rt△BCD中，sin∠CBD＝CDBC，∴CD＝BCsin60°＝70×32＝353(米)，∴CE＝CD＋DE＝353＋1.5≈62.1(米)【答案】62.1三、解答题(共36分)17．(12分)(2012中考预测题)如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.【答案】(1)证明：∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB//CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB//DE，∴∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM，∴△EDM∽△FBM.(2)解：∵△EDM∽△FBM，∴DMBM＝DEBF.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝13DB＝3.18．(12分)(2011·青岛)如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°.已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70)【答案】解：在Rt△ABD中，sin40°＝ADAB＝AD5，∴AD＝5sin40°≈5×0.64＝3.2(m)．在Rt△ACD中，tan35°＝ADCD＝3.2CD，∴CD≈3.2tan35°≈3.20.70≈4.6(m)．答：调整后的楼梯所占地面CD的长约为4.6m.19．(12分)(2011·山西)如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1∶3(即AB∶BC＝1∶3)，且B、C、E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．【答案】解：如图所示，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形．∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设DE＝x米，在Rt△CDE中，CE＝DEtan∠DCE＝DEtan60°＝33x.在Rt△ABC中，∵ABBC＝13，AB＝2，∴BC＝23.在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2.∴AF＝DFtan∠DAF＝x－2tan30°＝3(x－2)．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米