DSP习题答案-7(2017)

1.某因果LTI离散由两个子系统级联组成，若两个子系统差分方程为：11[]0.4[]0.6[1]1[][1][]3ynxnxnynynyn（1）求系统函数H1(z)、H2(z)（2）求系统冲激响应h[n]（3）画出H2(z)的幅频特性曲线1111111211zY()0.4()0.6()()()0.40.6()1()()Y()3()1()()13zXzzXzYzHzzXzYzzYzzYzHzzYz解：(1)对差分方程两端求变换得1112111110.40.6()()()(0.40.6)11111133311[]0.4()[]0.6()[1]33nnHzHzHzzzzzzhnunun(2)2221()()|11311|()|1102|1|cos393jjzejjjHeHzeHee(3)1111(1)()(2)[][]1Z()()()(7.2[][1])(1]))[(1naTHzxneynynynTxYzzYzTzXnzYzTzHzXzz求系统传递函数时的频率响应设系统差分解：（）对差分方方程为，两边求程进行变换(1)(2)[][][]()[]()|1aTnnmmnnmmaTaTnnaTzezynhmzhmzzHzzzeTeynHzze解：当输入为的特征信号时，令3、设系统差分方程为[][1]{[][1]}2Tynynxnxn，求(1)系统传递函数H(z)。(2)当输入为[]naTxne时的响应[]yn。解：(1)1111()(){()()}2()1()()21TYzzYzXzzXzYzTzHzXzz（2）1[]()|21aTaTnaTnaTzeTeynHzzee4.一个离散时间系统差分方程为y[n]-y[n-1]=x[n-1],其中y[n]=0,n0.计算（1）系统传递函数H(z)（2）系统冲激响应h[n]（3）当x[n]=10，n=0时的系统响应y[n]1111zY()()()()()()1(2)h[][1]3[]10[][][][]10[][1]10[1]zzYzzXzYzzHzXzznunxnunynxnhnununnun解：(1)对差分方程两端求变换得由H(z)可得出冲激响应（）7.5一个具有实冲激响应且长度为4的FIR滤波器，由于是长度为4的FIR滤波器，其h[n]包含4个冲激响应，所以𝐻(𝑒𝑗𝜔)=ℎ[0]+ℎ[1]𝑒−𝑗𝜔+ℎ[2]𝑒−𝑗2𝜔+ℎ[3]𝑒−𝑗3𝜔𝐻(𝑒𝑗0)=ℎ[0]+ℎ[1]+ℎ[2]+ℎ[3]=2𝐻(𝑒𝑗𝜋/2)=ℎ[0]+ℎ[1]𝑒−𝑗𝜋/2+ℎ[2]𝑒−𝑗𝜋+ℎ[31]𝑒−𝑗3𝜋/2=ℎ[0]−𝑗ℎ[1]−ℎ[2]+𝑗ℎ[3]=7−3𝑗𝐻(𝑒𝑗𝜋)=ℎ[0]+ℎ[1]𝑒−𝑗𝜋+ℎ[2]𝑒−𝑗2𝜋+ℎ[31]𝑒−𝑗3𝜋=ℎ[0]−ℎ[1]+ℎ[2]−ℎ[3]=0𝐻(𝑒−𝑗𝜋/2)=𝐻∗(𝑒𝑗𝜋/2)=ℎ[0]+ℎ[1]𝑒𝑗𝜋/2+ℎ[2]𝑒𝑗𝜋+ℎ[31]𝑒𝑗3𝜋/2=ℎ[0]+𝑗ℎ[1]−ℎ[2]−𝑗ℎ[3]=7+3𝑗4个方程求解可得：ℎ[0]=4ℎ[1]=2ℎ[2]=−3ℎ[3]=−16、一个具有长度为4的实对称冲激响应的FIR滤波器，其频率响应具有以下值；/2()8;()22jjHeHej，求其冲激响应h[n]。解：若为偶对称，则23()[0][1][1][0]jjjjHehhehehe23[0][1][1][0]jjjhhehehe[0][1][1][0]0hhhh所以此题为奇对称，23()[0][1][1][0]jjjjHehhehehe[0][1][1][0]8[0][1]4hhhhhh/2/23/2()[0][1][1][0][0][1]2jjjjHehhehehehh所以[]{1,3,3,1}hn7.LTI系统的零极点如图，说明下列说法的是否正确。xxxx（1）系统是稳定的（2）系统是因果的（3）如果系统是因果的，则系统一定稳定（4）如果系统稳定，那么一定是一个双边的单位脉冲响应（a）不确定：系统稳定性的前提是收敛域包含单位圆。（b）不确定：无法判断为因果系统。（c）错误：要求全部极点在单位圆内。（d）正确：收敛域包含单位圆。7.8一个离散时间因果系统，其系统函数为：𝐻(𝑧)=(1+0.2𝑧−1)(1−9𝑧−2)1+0.81𝑧−2（a）该系统是因果系统吗？（b）求1个最小相位系统和一个全通系统表达式。解：（a）系统是因果的。（可以用长除法进行判断）（b）𝐻(𝑧)=(1+0.2𝑧−1)(1−9𝑧−2)1+0.81𝑧−2=−9(1+0.2𝑧−1)1+0.81𝑧−2(𝑧−1−13)(𝑧−1+13)=−9(1+0.2𝑧−1)1+0.81𝑧−2(𝑧−1−13)(𝑧−1+13)1−13𝑧−11−13𝑧−1∙1+13𝑧−11+13𝑧−1=−9(1+0.2𝑧−1)1+0.81𝑧−2(1−13𝑧−1)(1+13𝑧−1)𝑧−1−131−13𝑧−1∙𝑧−1+131+13𝑧−1令𝐻1(𝑧)=−9(1+0.2𝑧−1)1+0.81𝑧−2(1−13𝑧−1)(1+13𝑧−1)𝐻𝑎(𝑧)=𝑧−1−131−13𝑧−1∙𝑧−1+131+13𝑧−1则𝐻1(𝑧)的所有零点都在单位圆内，所以是最小相位系统，而𝐻𝑎(𝑧)是全通系统𝐻(𝑧)=𝐻1(𝑧)𝐻𝑎(𝑧)9、第一个是全通系统，第2和4不是全通系统，第3个属于不确定状态10、已经五个FIR传递函数1234561123456212345634(1)()21.40.90.1580.41040.02940.0668(2)()12.712.6124.75766.30162.072126.786(3)()0.20.261.93410.4131.9340.260.2(4)(HzzzzzzzHzzzzzzzHzzzzzzzHz124561234565)1.250.52.12.10.51.25(5)()1.13.122.50.60.50.06zzzzzHzzzzzzz请用MATLAB函数确定每个系统的零点位置，并回答下列问题：（1）哪些FIR系统是线性相位（2）哪些FIR系统是最小相位（3）哪些FIR系统为最大相位由零点图知：H1(z)所有零点分布于园内，为最小相位；H2(z)所有零点分布于园外，为最大相位系统。H3(z)、H4(z)的具有7点的偶对称冲激响应，所以是线性相位。7.11一个长度为12的第二型实系数FIR滤波器具有以下零点：𝑧1=3.1，𝑧2=−2+𝑗4，𝑧3=0.8+𝑗0.4（a）求其余零点位置（b）该滤波器𝐻(𝑧)的系统函数解：对于实系数线性相位FIR，其零点具有共轭对称及镜像对称特性，因此，由已知的零点，可以推知还有以下零点：𝑧2是不在单位圆的复数零点，由它可以确定另外3个零点：𝑧4=𝑧2∗=−2−𝑗4，𝑧5=1𝑧2∗=−0.1+0.2𝑗𝑧6=1𝑧2=−0.1−0.2𝑗𝑧3是不在单位圆的复数零点，由它可以确定另外3个零点：𝑧7=𝑧3∗=0.8−𝑗0.4，𝑧8=1𝑧2∗=1+0.5𝑗𝑧9=1𝑧2=1−0.5𝑗𝑧1是不在单位圆的实数零点，由它可以确定另外1个零点：𝑧10=1𝑧1=1031已知FIR系统长度为12,则其阶数为11，因此系统共应有11个零点，第二型系统，在z=-1处有奇数个零点，所以最后一个零点𝑧11=−1FIR所有的极点都集中在Z=0处，在|𝑧|0处收敛，系统稳定，所以：113.1240.80.4240.10.20.10.20.80.410120.510.5131Hzzzzjzjzjzjzjzjzjzjzz