讲义矩形和菱形

..龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：年级：八年级教师:制作人：孙发青课题矩形和菱形教学目标1、探索并掌握矩形、菱形的定义、性质和判定方法2、灵活运用矩形、菱形的性质和判定解决有关问题3、知道矩形、菱形是特殊的平行四边形4、体验矩形、菱形的特征和它的判别在实际生产和生活中的应用5、在学习中感受转化的思想，体验发现规律的乐趣重点、难点重点：矩形、菱形的定义、性质和判定方法难点：运用相关知识解决相关问题考点及考试要求矩形、菱形的定义、性质和判定方法教学内容考点一：矩形【知识点总结】1．矩形的定义：有一个角是直角的是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。2、矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。（1）边：对边且。（2）角：四个角都是。（3）对角线：互相且。3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的。（2）对角线相等的。（3）有三个角是的四边形。注意：①．矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是三角形且面积相等。②．矩形是轴对称图形，两组对边的线是它的对称轴。【基础知识训练】1．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。2．矩形的两条对角线的交角之一是60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm，则对角线的长为，较短的边的长为，较长的边的长为。3.平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角相等4．矩形各内角平分线所围成的四边形是（）A、矩形B、平行四边形C、正方形D、菱形【典型例题】(2011浙江绍兴，15，5分)取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比DCBA..为.【答案】3:2例1.如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH解：∵四边形ABCD是菱形∴AC、BD平分对角∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD∴OE＝OF＝OG＝OH又∵AB//CD∴OE⊥CD又∵OG⊥OD∴直线OE与OG重合即E、O、G三点共线同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形又∵HF=EG∴四边形EFGH是矩形点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。ABOCDDACBHGFE..例4．如图，矩形ABCD中，BDCE，E为垂足，1:3:ECBDCE，则ACE等于多少？【巩固练习】1、在矩形中，对角线具有的性质是（）A．相等且互相垂直B．相等且互相平分C．互相垂直且互相平分D．互相垂直且平分内角2、下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对4、①矩形的定义中有两个条件：一是，二是②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分为、、、．③已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm5.（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为。【答案】114n6.（2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【答案】257.如图，矩形ABCD中，CE平分15,ACEBCD°，求BOEDOC,的度数。8、如图，矩形纸片ABCD中，3cm4cmABBC，，现将AC、重合使纸片折叠压平，设折痕为EF、，则重叠部分AEF△的面积为多少？……DAOBCEAEBFODCＡFDCBED..MNODCBA考点二：菱形知识点一：菱形的定义：有一组邻边相等的叫做菱形．知识点二：菱形的性质菱形是特殊的，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．知识点三：菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．知识点四：菱形的对称性菱形是一个轴对称图形，有条对称轴。【基础知识训练】1、菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为。2、在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为______________,面积为_______________.4、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起,使之成60度角,那么重叠部分的面积的最大值为________________.【典型例题】【例1】、（2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm【例2】、（2011广东广州市，18，9分）如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．（第10题）FABCDHEG①②③④⑤ABCDEF图4..【例3】菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD中，6AC，8BD，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8【例4】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于．【巩固】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cmB．220cmC．240cmD．280cm图1DCBA【例4】☆已知菱形ABCD的两条对角线ACBD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【巩固】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2ODCBA菱形的判定【例1】如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例2】☆如图，在ABC中，BD平分ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BEDF是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.ODEFCAB图2DCBA..【例3】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，证明：AB与EF互相平分ABCDEFPPFEDCBA【巩固】☆如图，M是矩形ABCD内的任意一点，将MAB沿AD方向平移，使AB与DC重合，点M移动到点'M的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MDMCMM，，，试说明四边形'MDMC的对角线互相垂直，且长度分别等于ABAD，的长；⑶当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDMC是菱形？为什么？M'MDCBA【巩固】(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.(1)求AC的长.(2)求∠AOB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.【综合题】已知等腰ABC△中，ABAC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB∥，分别交AC、BC于E、F点，作PMAC∥，交AB于M点，连结ME.⑴求证四边形AEPM为菱形⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？MPFABCDE考点三：矩形和菱形的综合应用例（2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（121a），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为..第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_____________．练习1：(2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．⑴求证：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．练习2（2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．练习3已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。第一次操作第二次操作ABCDEF(第21题)RHGFEDCBA..【课后作业】一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为。2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是cm。3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝3cm，则DE＝cm。4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝。5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝。第3题图EODCBA第4题图?543PDCBA第5题图FEDCBA二、选择题：6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（）A、仅能作一个B、可以作四个C、一般情况下不可作D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段