H(三章2讲)算符本征函数系

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第三章：量子力学中的力学量第二讲：算符本征函数系一、所有力学量算符都是线性厄密算符11221122ˆˆˆA(cc)cAcA（）（）**ˆˆΨAdτ=(AΨ)dτˆˆ(,A)(A,)二、（厄密）算符对易式0,称为不对易三、厄密算符的本征方程ˆAa如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。并称是的本征值，为属于的本征函数，aˆAa定义：测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是相应于算符的本征值之一；当体系处于算符A的某一本征态时，则每次测量值是完全确定的，即为{}nannaˆA2.在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。四、厄米算符的本征值与本征函数的相关定理：1.厄米算符的本征值为实数。3.厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。4.厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。5.厄米算符的本征函数系具有完备性。6.厄米算符的本征函数系具有封闭性。定理1厄密算符的本征值是实数定理2在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符*AAA的平均值是实数ˆˆψAψAψψ（，）＝（，）12令：12121212ˆˆA(((((A，＝，)（))))）12211221(ψψ)+(ψψˆˆˆˆA)ψψAψAAψ+，，＝（，）（，）1122iaibee取：,，代入上式,有()()12122121[(ψψ)-(ψψ)][(ψψ)-(ψψ)]ˆˆˆˆAAAAibaibaee，，＝，，12122121(ψψ)=(ψψ),b,(ψψ)=ˆˆAAˆˆ(ψψ)AAa是任意实，，，数，，证毕定理3厄密算符的任意两属于不同本征值的本征函数正交.看两个空间矢量内积：如果1212(,)0rrrr我们就称两矢量正交(也称线性无关)，即一个矢量在另一个矢量方向的投影为零。内积的实质就是求投影！我们先理解正交的含义，再证明这个定理正因为如此，我们常称波函数为态矢量！如果两个函数的内积，我们称他们正交！12(,)0*1*1(,)0,*0nnmnmnmnmnmnmnddmnmnd，定义：＝即：正交归一系：满足以上条件的一组本征函数{ψn}或{ψλ}构成正交归一系。本征分立谱：'''*1*(')1'(')(,)(')0,'*0ddd，定义:＝有：本征连续谱：tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后变得正交归一化：ˆA,(1,2,3,...,)iiaaaif如果对于同一本征值有多个独立的本征函数则称本征值a是f重简并的，称这种态叫简并态这f个函数不一定彼此正交归一，但它们可以重新组合成f个独立而且彼此正交归一的新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。例如：原子的px,py,pz三个轨道都有相同的本征能量，但是波函数却是不同的，因此它们就是3重简并的。2s2px2py2pz例解：先找正交归一化函数再来看它们是否简并定理3厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交。定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交。我们可以认定厄密算符的本征函数是彼此正交归一的综合定理3和4*(,)mnmnmnmnd则：ˆA,nnna即：对于厄密算符A，本征方程如下，定理5厄密算符的本征函数系具有完备性，构成完备系.完备性：任一态函数都可用任一力学量的本征函数系展开，不再需要使用其他任何函数。...nnnkkkcc(,)()()(,)()()...nnnkkkrtctrrtctr如何理解这种完备性？比较空间矢量与态矢量：112233nnPxiyjzkxexexexemnmnee坐标基矢正交归一：是一组完备的正交归一系（基组），123{,,}eee如何理解这种完备性？所以，空间上任意矢量都可以用这个基组展开，不再需要添加其他任何基矢。坐标基组是完备的！三维空间任一矢量：(,)(,)(,)nmnmmnmnmmmmmnccccnnnc我们来看态函数的展开系数：数学理解：态函数就象矢量，本征函数就象基矢；态函数的展开系数就是在相应基矢上的投影；所有的投影构成了态函数在这组本征函数基组上的坐标；坐标构成的数集可以用来表示这个态矢量...nnkknkcc继续…nnPxe它是态矢量在相应本征函数上的投影！12(,,...)nccc123(,,)Pxxx证明如下：ˆˆˆ(,A)(,A)(,A)(,)nnnnnnnnnnccca(,)mmnnnmncca**,mnnmnnnnmnnccacca2||nnnca说明它的确就是测得本征值an的概率！(,)nnnnnnc统计理解：任一波函数都可在本征函数系（基组）上展开，展开系数就是处于本征态的概率n2||nc{}n测量理解：展开系数就是在态时对力学量A进行测量时，所得值是本征值的概率；并且，每一测量值都属于本征值集na2||nc{}na2||1nnc测得值只能是本征值系中的一个，不可能是其他的什么值。证毕！就如三维空间一个矢量与其坐标数组是等效的；123(,,)(,,)Pxxxijk量子力学的态矢量也与其在任一本征函数集上的展开系数所构成的数组（一维矩阵）等效。12(,,...,c){}nncc波函数与矩阵的等效性Tips:由基矢{i,j,k}所张开的空间叫三维矢量空间。由本征函数系所张开的n维矢量空间，称为Hilbert空间，波函数是这个空间的一个矢量{}n封闭性是完备性的充要条件：()()nnnxcx*()()nncxxdx*()(()())()nnnxxxxdx*()()()nnnxxxx(('),())(')nnxxxx完备性封闭性：本征函数在自身的投影是一个δ函数定理6厄密算符的本征函数具有封闭性.*()()()nnnxxxx*()()()nnnxxxx1.本征函数的封闭性也可看作是函数按本征函数展开时，其展开系数恰好是本征函数的复共轭。2.本征函数在自身的投影是δ函数,在其它本征函数上的投影是0112212...c(,,...,)nnnccccc12()00...(')(0,0,...,('))nnxxxxx封闭性的理解为什么投影是“δ”函数，()(0,0,...,,..)1.nx()()nnnxcx(1()())nnnnnxcxx()(')(')(')nnnnnxcxxxx原因在于基函数是一种函数，带有自变量x；也就是说，即算对于同一个基函数，自变量x的值不同，函数的值也是不同的！本征函数小结：完备性：nnnc正交归一性：*mnmnd封闭性：*('')(')('')nnnxxxx投影：*()()nnxxc(,)mnmn((''),('))(''')nnxxxx((''),('))(''')nnxxxx(,)nnc再论波函数：1.统计解释：波函数的模方描述粒子的概率分布ω(r,t)=|ψ(r,t)|22.波函数已知，则任意力学量的本征值、权重及它们的统计平均都可知道。即描写粒子状态的一切力学量都能知道。波函数完全描述体系的量子态，也称态函数。3.波函数可在任一力学量算符的本征函数系上的展开，且与由展开系数矩阵等效。波函数是Hilbert空间的一个矢量。4.知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。波函数完全描述微粒的状态作业：1.３.试述波函数是Hilbert空间的一个矢量２.证明厄米算符本征函数的正交归一性。