数列中的奇偶项分类讨论问题20170313

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数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、(14宁波二模)设等差数列的前n项和为nS,且248,40aS.数列nb的前n项和为nT,且230nnTb,nN.(I)求数列na,nb的通项公式;(II)设为偶数为奇数nbnacnnn,求数列nc的前n项和nP.解:(Ⅰ)由题意,1184640adad,得14,44naand.230nnTb,113nb当时,,112230nnnb当时,T,两式相减,得12,(2)nnbbn数列nb为等比数列,132nnb.(Ⅱ)1432nnnncn为奇数为偶数.当n为偶数时,13124()()nnnPaaabbb=212(444)6(14)222214nnnnn.当n为奇数时,(法一)1n为偶数,1nnnPPc(1)1222(1)24221nnnnnn(法二)132241()()nnnnPaaaabbb1221(44)6(14)2221214nnnnnn.12222,221nnnnnPnnn为偶数,为奇数例2.数列na中,1221,4,23nnaaaan,nS为数列na的前n项和,求nS。}na2-1-12-32-112-12-22-11,2=c+2=c+2n-1==n,2=+2=+2n-1==n+2n=n+2[1+(1)](1)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaacanbabaaabbbbanannn解:当为奇数时,c则c,由得,则c()2n-1,则;当为偶数时,则,由得,则()2n+2,则;,为奇数,n为偶数为奇数,S222232(n1);21+)3;2232,23,2nnnnnnnnnnnnnnnnn(为偶数,S为奇数,S为偶数.练习、(12宁波一模)已知数列na满足:111,1,2nnnanaaan奇,,偶为数为数*nN,设21nnba.(1)求23,,bb并证明:122;nnbb(2)①证明:数列2nb等比数列;②若22122,,9kkkaaa成等比数列,求正整数k的值.解:(1)2321=22(1)4,baaa3543=22(1)10,baaa121221=22(1)2(1)22,nnnnnnbaaabb(2)①因为111122(2)1,20,2,22nnnnbbbabbb所以数列2nb是以3为首项,2为公比的等比数列.②由数列2nb可得,1121322,322nnnnba即,则12211321nnnaa,因为22122,,9kkkaaa成等比数列,所以21(322)(321)(328)kkk,令2=kt,得23(32)(1)(38)2ttt,解得243t或,得2k.……………14分2.已知数列{an}满足an+1=an2an为偶数,an-2nan为奇数.若a3=1,则a1的所有可能取值为________.解析:当a2为奇数时,a3=a2-4=1,a2=5;当a2为偶数时,a3=12a2=1,a2=2;当a1为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7或a2=a1-2=2,a1=4(舍去);当a1为偶数时,a2=12a1=5,a1=10或a2=12a1=2,a1=4.综上,a1的可能取值为4,7,10.答案:4,7,103.一个数列{an},当n是奇数时,an=5n+1;当n为偶数时,an=22n,则这个数列的前2m项的和是________.解析:当n为奇数时,{an}是以6为首项,以10为公差的等差数列;当n为偶数时,{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列.所以,S2m=S奇+S偶=ma1+mm-12×10+a21-2m1-2=6m+5m(m-1)+2(2m-1)=6m+5m2-5m+2m+1-2=2m+1+5m2+m-2.4.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40解析:选A设这个数列有2n项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为(C)(A)4(B)6(C)8(D)106、已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10=________.解析:∵an+an+1=bn,an·an+1=2n,∴an+1·an+2=2n+1,∴an+2=2an.又∵a1=1,a1·a2=2,∴a2=2,∴a2n=2n,a2n-1=2n-1(n∈N*),∴b10=a10+a11=64.7、已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则a7a3=()A.2B.4C.5D.52解析:选B依题意得an+1an+2anan+1=2n+12n=2,即an+2an=2,故数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项、2为公比的等比数列,因此a7a3=4.8.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),设Sn是数列{an}的前n项和,则S2014=()A.22014-1B.3×21007-3C.3×21007-1D.3×21007-2解析:选B由an+2an+1an+1an=an+2an=2n+12n=2,且a2=2,得数列{an}的奇数项构成以1为首项,2为公比的等比数列,偶数项构成以2为首项,2为公比的等比数列,故S2014=(a1+a3+a5+…+a2013)+(a2+a4+a6+…+a2014)=1-210071-2+21-210071-2=3×21007-3.对比:an+1/an=2n则用累乘法,9.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S100=________.解析:由an+2-an=1+(-1)n,知a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,数列{a2k}是等差数列,a2k=2k.∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=50+(2+4+6+…+100)=50+100+2×502=2600.点评:分奇偶项求和,实质分组法求和,注意公差和公比。对比练习:(2014·衢州模拟)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.解析:∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n-2+2=2n.∴Sn=2-2n+11-2=2n+1-2.10、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明Sn+1Sn≤136(n∈N*).[解题指导](1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.[解](1)设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{an}的通项公式为an=32×-12n-1=(-1)n-1·32n.(2)证明:Sn=1--12n,Sn+1Sn=1--12n+11--12n=2+12n2n+1,n为奇数,2+12n2n-1,n为偶数.当n为奇数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1Sn≤S1+1S1=136.当n为偶数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1Sn≤S2+1S2=2512.故对于n∈N*,有Sn+1Sn≤136.变式:(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.①求数列{an}的通项公式;②是否存在正整数n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.解析:①设数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.由题意得S2-S4=S3-S2,a2+a3+a4=-18,即-a1q2-a1q3=a1q2,a1q1+q+q2=-18,解得a1=3,q=-2.故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.②由①有Sn=3×[1--2n]1--2=1-(-2)n.若存在n,使得Sn≥2013,则1-(-2)n≥2013,即(-2)n≤-2012.当n为偶数时,(-2)n0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2012,即2n≥2012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.点评:当数列涉及底数是负数时,要对指数n分奇偶讨论。数列中的奇偶项练习B组201703131、(2005天津)在数列na中,121,2aa且211nnnaa,则100S。变式:求nS。2600变式:21,44,4nnnSnnn为奇数为偶数2、求和:115913143nnSn2,21,nnnSnn为偶数为奇数3、已知数列na的前n项和nS满足121332nnnSSn,且1231,2SS,求数列na的通项公式。11143,2143,2nnnnan为奇数为偶数4、(2004年北京理14)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列na是等和数列,且12a,公和为5,那么18a的值为,这个数列的前n项和nS的计算公式为。3,5,251,2nnnSnn为偶数为奇数5.数列na的首项11a,且对于任意nN,na与1na恰为方程220nnxbx的两个根。(1)求数列na和数列nb的通项公式(2)求数列nb的前n项和nS(1)1222,2,nnnnan为奇数为偶数,121232,2,nnnnbn为奇数为偶数(2)1221027,727,nnnnSn为奇数为偶数6.设na满足11a,且11,21,4nnnanaan为奇数为奇数,记2114nnba,212nnca,求na。1212311,424311,422nnnnan为奇数为偶数7.(2013湖南例)设nS为数列na的前n项和,*11,2nnnnSanN,则3a。(2)12100SSS。(1)116(2)100111328.(2014新课标Ⅰ)已知数列na的前n项和为nS,111,0,1nnnnaaaaS,其中为常数。(1)证明:2nna
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