5-2概率论

§5.2中心极限定理一、中心极限定理的背景二、独立同分布的中心极限定理三、棣莫佛－拉普拉斯定理一、中心极限定理的背景在实际问题中,一个随机变量往往是众多相互例如考察从一批灯泡中随机抽取n只的平均寿命nkkXnX11.,,,21且同分布的个随机变量是相互独立而这综合作用的结果，个随机变量是nXXXnXn独立的随机因素共同作用的综合效果.经验表明:当n充分大时平均寿命近似服从正态分布.一般地,多个随机变量之和近似服从正态分布.结果：随机变量和的极限分布是正态分布.在概率论中,习惯于把描述“和的分布收敛于正态分布”的几个定理称为中心极限定理.二、独立同分布的中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）则随机变量之和的和方差：且具有数学期望同一分布服从相互独立设随机变量),,2,1(0)(,)(,,,,,,221kXDXEXXXkknnkknkknkknXDXEXY111标准化变量nnXnkk1xnnXPxFxxFnkknnnn1lim)(lim)(满足对于任意的分布函数定理表明:.,数标准正态分布的分布函的分布函数收敛于随机变量序列当nYnxtxte).(dπ2122nnXnkk1)1,0(N近似服从正态分布nXYXXXnXkXDXEXXXnnkkn/)(1),,2,1(0)(,)(,,,,,,21221的标准化变量值则随机变量的算术平均和方差：且具有相同数学期望同一分布服从相互独立设随机变量定理2(定理1的均值形式)xnXPxFxxFnnnn/lim)(lim)(满足对于任意的分布函数xtxte).(dπ2122)1,0(NnX/近似服从正态分布n充分大时xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(dπ21)1(lim,,)10(,),2,1(22恒有对于任意则的二项分布服从参数为设随机变量定理3(棣莫佛－拉普拉斯定理)三、棣莫佛－拉普拉斯定理(定理3这是定理1的特殊情况)定理3表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.例某工厂生产的产品废品率是0.005,试求任意抽取的10000件产品中废品数不多于70件的概率p.解：记Yn表示10000件产品中的废品数，则Yn~b(10000,0.005)由中心极限定理，知100000.00550100000.005(10.005)(049.5,17)nnNYY近似{070}nPY{}50050705049.7549.7549.75nPY故()705005049.7549.75()0.9977