4-2概率论

一、方差的概念二、方差的性质§4.2方差三、小结引例一、方差的概念甲乙两射击手,他们击中的环数X,Y为随机变量,其分布律分别为试问哪个射手技术水平较高?X8910P0.40.20.4Y8910P0.10.80.1()80.490.2100.49,EX()80.190.8100.19.EY解：平均起来甲射手和乙射手每枪都击中9环,因此只用数学期望无法比较两人的射击水平.但乙的射击环数更集中在均值9环处,所以我们认为乙的发挥更加稳定,射击技术更好一些.程度是十分必要的.2{[()]}EXEX来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.E|X-E(X)|由此可见,研究随机变量与其均值的偏离).(,)(}.)]({[)(Var)(),(Var)(,}])({[,})]({[,222XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为为标准差或均方差称即或记为的方差随机变量为则称存在若是一个随机变量设1.方差的定义方差是随机变量的取值与其均值偏差的平方的平均,它描述了随机变量的取值对于其数学期望的分散程度.如果D(X)大,表示X取值比较分散;如果D(X)小,则表示X的取值比较集中.2.方差的意义离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差2()[()]()d,DXxEXfxx3.随机变量方差的计算(1)利用定义计算().fxX其中为的概率密度.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk.)]([)()(22XEXEXD证明})]({[)(2XEXEXD})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE(2)利用公式计算).()(22XEXE(1)两点分布4.常见概率分布的方差设随机变量X具有(0-1)分布，其分布律为pXPpXP}1{,1}0{求D(X).解:()EXppppXE2221)1(0)()1()]([)()(222ppppXEXEXD(2)二项分布),,,2,1,0(,)1(}{nkppCkXPknkpn.10p则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为npXE)(20()(11)(1)nkknknkEXkkCpp2!(1)(1)!()!nknkknkkppnpknk2!(1)(1)!()!nknkknkkppnpknk222(2)!(1)(1)(2)![2(2)]!nknkknnnpppnpknk2(1)nnpnp22()()[()]DXEXEX22(1)()nnpnpnp1npp（）(3)泊松分布.0,,2,1,0,!}{kekkXPk则有)(XE~(),X设且分布律为])1([)(2XXXEXE)()]1([XEXXE0!)1(kkekkk222)!2(kkkeee2.2所以22)]([)()(XEXEXD22..都等于参数泊松分布的期望和方差(4)均匀分布则有1,,()0,.axbfxba其它其概率密度为设),,(~baUX2)(baXE22)]([)()(XEXEXD222d1baxabxba.12)(2ab12)(2ab(5)指数分布,,0,()0.0,0.xXexfxx设随机变量服从指数分布其概率密度为其中则有1)(XE22)]([)()(XEXEXD202222d)()(xexdxxfxXEx21(6)正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有)(XE.,0,21)(222)(xσeσxfσμxxeσμxσμxd21)(222)(2xxfμxXDd)()()(2xeσμxσμxd21)(222)(2得令,tσμxtetσXDtd2)(2222teteσttd2222222202σ.2σ2σ.2σμ和分别为两个参数正态分布的期望和方差分布名称参数数学期望方差均匀分布两点分布二项分布泊松分布指数分布正态分布10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba()2ab12)(2ab0/12/10,σμμ2σ证明22)]([)()(CECECD二、方差的性质(1)设C是常数,则有.0)(CD22CC.0(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有).()(2XDCCXD证明)(CXD})]({[22XEXEC).(2XDC})]({[2CXECXE()()().DXYDXDY(3)设X,Y相互独立,则.,1)}({,0)()4(反之也成立则若XEXPXD若X,Y不独立,则有()()2{[()][()]}().DXYDXEXEXYEYDY推广).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD则有相互独立若,,,,21nXXX)(21nXXXD)()()(21nXDXDXD契比雪夫不等式证明.}{,,)(,)(222成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εσεμXPεσXDμXEX对连续型随机变量的情况来证明.(),Xfx设的概率密度为则有22{}.σPXμεε221()()dxμfxxε.122σε22()dxμεxμfxxε22}{εσεμXP.1}{22εσεμXP得}{εμXP()dxμεfxx标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称()()*X-EXX=DX为X的标准化随机变量.显然，()0()1**EX=,DX=1,10,()1,01,0,.().XxxfxxxDX设随机变量具有概率密度其它求解1001d)1(d)1()(xxxxxxXE,0例题讲解例11020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61于是22)]([)()(XEXEXD2061.61仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布XP-1010.10.80.1YP-2020.0250.950.025与2.0)(,0)(XDXE2.0)(,0)(YDYE有相同的期望方差,但是分布却不相同例如例4已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解1234)(,4.27.121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4.2(2在已知分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.