常系数非齐次线性微分方程的几种解法

常系数非齐次线性微分方程的几种解法广东广州华南师范大学（郑海珍20052201323李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。『关键词』：常系数非齐次线性微分方程；特解；通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(tfxpxpxpxnnnn………………（1）的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21txtxtxn，再设法求出方程（1）的一个特解)(~tx，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1txtxctxniiinici,,2,1,为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~tx。下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。首先给出本文常用符号：nnnppF)1(1)()(为方程（1）的特征方程。k,,,21是特征根，其对应的重数分别为kuuu,,21。)(,),(),(21txtxtxn是方程（1）对应齐方程的基本解组。一、常数变易法[1]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211txtctxtctxtctxnn…………………（1.1）其中nici,,2,1,是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211tftcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxnnnnnnnnnnnnnn………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21tctctcn的表达式，对它们分别进行积分，从而得nici,,2,1,，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~tx。此法对于自由项)(tf的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量大。二、将方程（1）化成为高维线性方程组的方法[1]令,,,,)1(21nnxxxxxx则,,,,)1(13221nnnxxxxxxxxx)()(121)2(2)1(1)(tfxpxpxptfxpxpxpxxnnnnnnnn这时可写nnxxxxx2121x,xx，则方程（1）等价于f(t)00xx12101000010ppppnnn，记)(00)(,01000010121tfppppnnntFA，则上面方程可写成F(t)Axx………………………………………………（2.1）那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t及其特解)(t就可以求得。若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)1(00txtx，）txn，则其特解可由常数变易公式dssfsxsxsxWsxsxsxWtxtnkttnnkk)()(,),(),()(,),(),()()(121210给出。其中)(,),(),(21sxsxsxWn是)(),(),(21sxsxsxn的朗斯基行列式，)(,),(),()(,),(),(2121sxsxsxWsxsxsxWnnk是在中以第k列代入T1,0,,0,0后得到的行列式。三．比较系数法[1]对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为tntmetttptfetptfsin)(ptcos)()()()(s或，（其中)(),(),(tptptpsnm分别为m次，n次，s次多项式。,,为实常数）时，可预见确定特解x~的形式，即分别令)((,)(~tQetQtxmtmk为一待定m次多项式，k是方程（1）的特征方程有根时的次数）或tmmkettQttQtxsin)(cos)(~)2()1(，（其中)(),(.,max)2()1(tQtQsnmmm位两个代定m次项式，k为方程含根t的次数。然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t同次幂系数的方法确定代定系数多项式。再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。四、简化待定系数法[2]比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。下面介绍第四种方法——简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。现作如下介绍：定理4.1方程tmnnnnetpxpxpxpx)()2(2)1(1)(（2）其中,,,,21nppp为常数，)(tpm为m次多项式。则可设方程（2）的一个特解ttkmmkmketQetbtbtbx)()(~110（4.2）其中).2,1,0(mibi是待定系数，由恒等式)()()(1)()(tptQtFjmjjmkkj!……………………（4.3）来确定，)(tF为方程（2）的特征方程，k为由特征方程0)(F的根的重数（是单根时k=1，不是特征根时k=0）证明：设ttkmmkmketQetbtbtbx)()(110为方程（2）的解，则))()((tQtQext))()(2)((2tQtQtQext))()()()(()1(3212111)1(tQtQCtQCtQexnnnnntn))())()()()(()()1(1221111)(tQtQCtQCtQCtQexnnnnnnnnntn将)(,,,nxxxx代入方程（2）的左端xpxpxpxnnnn)2(2)1(1)(tntntnnnnntnnnnnnnnntetQptQtQeptQtQtQeptQtQCtQeptQtQCtQCtQCtQe)())()(())()(2)(())()()(())())()()()((122)1(21111)()1(1221111tmnjtnntetpjFtjQjeFtQnFtQFtQFtQe)())(())((!1)]()(!1)()(!21)()(!11)()([0)()(于是得到)()()(1)()(tptQtFjmjjm0j!……（4.4）其中1)(!1),()(F01,)()((0)2211nnnnnFnFpppF！记由于是F（）的k重特征根，可得0)(,0)()()()()()1(kkFFFFF而于是由（4.4）得（4.5）。反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数tetQx)(是方程（1）当是它相应特征方程的k重根时的特解。当时，0)(atpm是特征方程的k重根，则方程（1）有形如tkketFax)(~)(0。特例对于方程teaxpxpx0211当不是特征方程时，有特解teFax)(~02当是特征方程的单根时，有特解tteFax)(~03当时特征方程的重根时，有特解tetFax20)(~当10)(atatpm，是特征方程的k重根，则方程（1）有特解)()(,)()1(,)(~)()1(011)(00110kkktkkFFbabFkabetbtbx而形如tnnnnettpttpxpxpxpx)sin)(cos)((21)2(2)1(1)(（)(),(21tptp分别为m次和n次多项式，,为常数），则可利用Euler公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。例1：求方程texxx32的通解。解：特征方程由032)(2F可得1.321所以齐次方程的通解为ttececx231。因为1)(,04)1(,0)1(tpFFm，所以依据1知原方程有一个特解ttteteFx41)1(1~故原方程的通解为tttteececx41231例2：求方程tetxxxxx)1(464)4(的一个特解。解：因为,01464)(234F可得1)(,024)1(,0)1(,0)1(,0)1(,0)1(ttpFFFFF所以根据20)(,24124011,120124)14(1)5(10Fbb故原方程有一个特解ttettettx)2411201()2411201(~4414五、代换降阶法[3]由一阶常系数非齐次线性微分方程)(tfpxx的通解为))((cdtetfexptpt，我们联想到对于二阶以至高阶常系数非齐次线性方程是否也有类似的通解形式。定理1：设方程)(tfqxxpx……………………………（5.1）对应齐次方程的特征方程为02qp，它的两个特征根为21,，则（5.1）与方程组)(1211tfxxxxx……………………………（5.2）是等价的。于是可得（5.1）的通解为dtcdtexfeeecxtttt2)(121221)(证明：21,是02qp的两个根，由韦达定理得)(21p，21q，从而（5.2）可化为)()(2121tfxx若令xxx11，则)(121tfxx。于是（5.1）与方程组（5.2）是等价的。方程组（5.2）的解为21112212)(cdtetfexcdtexextttt则（5.1）的通解为121211))((cdtecdtetfeexttttdtcdtetfeeectttt2)(121211)(…………………………（5.3）其中21,cc为任意常数。可以看出，这个方法的实质是把一个二阶常系数线性微分方程（5.1）化成两个相继的一阶常系数线性微分方程组（5.2）来求解。定理2：设方程（5.1）对应的特征根为21,，则1.当21时，此方程的通解为dtetfedtetfeececxtttttt221121)(1)(12121212.当21时，此方程的通解为ttttedtettfdtetfteccx))()(()(213，当ii21,时，此方程的通解为)cos)(sin1sin)(cos1()sinctcos(21tdtetftt