三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5求△ABC的外接圆的半径.解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的半径为6.5.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC中，AB＝10，∠C＝100°，求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解：作直径BD，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝DsinAB＝80sin10∴△ABC外接圆⊙O的半径为80sin5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°求△ABC外接圆⊙O的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD，连结BD.则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°∴AD＝DsinAB＝60sin10＝3320∴△ABC外接圆⊙O的半径为3310.②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°求△ABC外接圆⊙O的半径.分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝21AC＝1，AE＝3，BE＝BC－CE＝2，AB＝22BEAE＝7ABCOABCODABCODABCODE∴AD＝DsinAB＝60sin7＝2132∴△ABC外接圆⊙O的半径为2131.③已知三边例5如图，已知，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15求△ABC外接圆⊙O的半径.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE∴ABAEADAC设CE＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE＝5∴AE＝12∴1512AD13AD＝465∴△ABC外接圆⊙O的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c求△ABC外接圆⊙O的半径.解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r，∴(a-r)+(b-r)=c,∴r=2cba,即△ABC外接圆⊙O的半径为2cba.2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15求△ABC内切圆⊙O的半径r.分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝)cs)(bs)(as(s(其中s=2cba)可求出S△ABC＝84，从而21AB•r+21BC•r+21AC•r=84,∴r=4②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC中，cotB＝34,AB＝5，BC＝6求△ABC内切圆⊙O的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝13，因为21AB•r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD,可求得r=61311ABCODEABCOEDbcaABCOEFDABCOD③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.ABCOD