解三角形教材分析概要

数学必修5第一章《解三角形》教材分析本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。地位与作用：本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生就能够系统地掌握解三角形的完整知识。可以从数量的角度认识三角形，使三角成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点。理解数学中的量化思想，为进一步学习奠定基础向量，平面几何，三角，解析几何，立体几何通过用解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，使学生逐渐形成用数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。《标准》与《大纲》要求的对比与说明教学内容《标准》目标表述《大纲》目标表述解三角形①通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能力用计算器解决斜三角形的计算问题。⑧通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。⑨实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（一）课标要求（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）课时安排建议1.1正弦定理和余弦定理（约4课时）1.2应用举例（约2课时）1.3小结（约2课时）（三）本章教学重点教学重点：1.正弦定理与余弦定理的探究与发现;2.依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。目标；应用价值；建模思想；应用意识等能力要求学生能力的发展，发现问题，分析问题，解决问题；方法；目标（四）本章教学难点教学难点：1.已知“两条线段长和一个角”确定三角形的情况;2.解三角形在实际问题中的应用。将实际问题转化为数学问题也是学生面临的一个难题。讨论及讨论的方法数学化，抽象思维（五）对教学的建议1．重视对学生问题意识和探究意识的培养和探究方法的训练教学中，启发学生不断提出问题，研究问题。教材最突出的特点是对学生问题意识、探究意识以及探究能力的培养与探究方法的训练。对正、余弦定理的学习要重结论但更重过程与方法，应侧重于结论的探究与形成的过程，和探究思想与方法的运用。根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。（五）对教学的建议2．重视对学生应用意识与应用能力的训练1)可从三个层面把握：⑴应用几何、向量知识等知识证明正弦、余弦定理；⑵应用三角函数的性质与三角变换解决三角形问题；⑶应用正弦、余弦定理解决实际测量问题。（五）对教学的建议2)充分利用图形语言的直观功能，要培养学生画图作题的习惯。3)对于应用问题,应培养学生的阅读理解能力和提取有用信息的能力。4)结合各校实际，针对章后实习作业这一教学环节，鼓励学生设计制定测量方案，激发学生的学习热情和应用意识。（五）对教学的建议3.近几年的高考已经把重点转移到对基础和基本技能的考查上。所以要用好教材、打好基础犹为重要。在双基知识的落实上，应以课本的例题、习题为素材，发挥教材中例题、习题的典型作用，事实上高考试题有相当多的题目是课本题目的直接引用或稍作变动而来。要关注定理证明。（五）对教学的建议4.在教学中关注运算能力的培养，努力解决学生“一算就错”的问题。平时重视书写规范的训练，让学生学会有条理地书写、清晰地表达。要注意解题思路的展示和解题后的反思。同时加强学法指导。培养学生严谨的态度、实事求是的科学精神。（五）对教学的建议5.关于例习题的选配与训练的层次层次1:正弦、余弦定理的理解与巩固性练习。层次2:依据问题的已知条件特征，对正弦定理和余弦定理的识别与选择性使用练习。层次3:三角形内的简单三角变换问题，如三角形内恒等式的证明、三角形形状的判断等。（五）对教学的建议层次4:实际测量问题（天文测量、航海测量、地理测量）：航海中海上两个岛屿间的距离的测量；海上航行的船只的船速与航向的测量；底部不可到达的建筑物的高度的测量；在水平飞行的飞机下方山顶的海拔高度的测量；不可到达的两点间的距离的度量;在天文研究中星际距离的测量；地理测量中的角度与面积的测量等生活实际中的实际应用问题。（五）对教学的建议6.要适当控制练习题目的难度重点关注解三角形的应用（测量与几何），鼓励学生探究不同的方法来解决问题，而不是硬套公式。重视揭示三角形本身所蕴涵的边角关系，引导学生掌握定理的结构,体会正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，强化方程思想与数形结合的思想,淡化三角变换，避免单纯的恒等变形和过分的技巧性训练。（六）本章的知识结构边、角间的数量关系正弦定理余弦定理解三角形应用举例测量实习三角形建模，设计几何，等式，学科定性和特殊三角形的定量，简洁（不用再构造直角三角形），更直接揭示规律。思想、方法上：1、定理结构的对称性；2、由已知求未知，方程（方程组）的思想；3、定理的发现，推广的方法，由特殊到一般的探索方法；4、定理的证明，正弦定理中由正弦值求角，三角形的可解性及解的情况，涉及分类讨论的思想；5、证明中将一般三角形问题转化为直角三角形问题，应用中将实际测量等问题转化为可解三角形问题（包括将空间问题转化为平面问题）。知识上：1、两个定理的内容；2、计算边、角；3、根据需要，进行边角转化，证明等式、不等式，判断三角形形状等；4、应用：实际生活中，学科中。建立三角形模型；5、自觉应用其相关知识解决几何问题。（八）基本定理及例题分析1．正弦定理sinsinsinabcABC=2R从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一对边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角，如sinsinaABb。正弦定理证明jCBAcbaAbBaACBAjBCjsinsin)(法二:向量法AbBaCDsinsin法一:构造直角三角形DCBAcba法三:外接圆法DOCBAARDRasin2sin2CabAbcBacSABCsin21sin21sin21法四:面积法法五:坐标法mgsinAAC=mgsinBBCCBA相同质量的物体，从C点沿不同路径下落到AB平面，重力所做的功相等正弦定理的三种变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RCCRbBRaA2sin,2sin,2sinCBAcbasin:sin:sin::三角形的可解性与解的个数的讨论baaAbBsinsinAbasinAbasinbaAbsinba分析一:当A为钝角或直角时,若则无解;若则有一解.当A为锐角时,,则无解；则有一解;则有两解；则有一解。ba若当若若思考与交流中提出，A版探究与发现分析二：当A为直角或钝角时,若则无解;若则有一解.babaabCBAABCbaabCBAabCBAAaAbBsinsinAbasinAbasinbaAbsinbaabsinA无解BbsinAabCAa=bsinA一解ACbabsinABbsinAab两解B2B1bsinAabCAab一解aACbB当当A为锐角时,.,则无解；若则有一解;若则有两解；若则有一解。2．余弦定理：2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2bacCba余弦定理的证明法一：构造直角三角形，利用勾股定理abc)()(2ababccc222)cos()sin(AbcAba22)0sin()cos(AcbAcBCacbaDCBAyxD(O)AcbaC(b,0)B(ccosA,csinA))sin(2sin2CBRARaAbccbCBbcCBbcBcCbcbBcCBbcCbCBCBCBCBRCBRARacos2coscos2sinsin2)sinsin()sin1(coscos2)sin1()sincossincoscossin2cos(sin4)(sin4sin42222222222222222222法四：利用正弦定理，，法二：向量法法三：建立直角坐标系知识内在的和谐与统一mhBACD法五：方法六:向量法BAC正弦定理早在公元150年左右，已被托勒密所知晓。10世纪，阿布•瓦法(Abul-Wefa)重新发现并证明该定理，随后，纳西尔丁•图西于1250年，雷格蒙塔努斯于1464年左右，分别以不同形式予以阐述。阿尔•比鲁尼(al-Biru(-)ni)也曾给出正弦定理的一个证明.正弦定理：2sinsinsinabcabcRABCS式中a，b，c分别是ABC各角A，B，C的对边，R是ABC外接圆半径，S是ABC的面积。余弦定理原为勾股定理的推广，是把直角三角形中各边平方的关系推广到任意三角形中而得到。阿耶波多的书中已载有此定理；15世纪初，阿尔·卡西曾给出余弦定理的另一形式：222cossinabcAcA；222cossinbcaBaB；222cossincabCbC。韦达在他的《标准数学》一书中收有下面形式的余弦定理：22221sin90ababcC这与我们今天所使用的余弦定理有相同的形式。余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。余弦定理的有关问题：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。由余弦定理可知222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形（注意：是锐角AABC是锐角三角形）3.三角形面积公式S=21absinC，S=21bcsinA,S=21acsinBS=cpbpapp2cbapS=Rabc4（七）高考命题趋势本章知识是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形的面积公式，考题灵活多样。选择和填空题型以考查用正、余弦定理解三角形为主，难度不大。解答题型主要与三角函数相结合实现边角互化，或用以解决实际问题，难度中等，近年考查实际应用问题较多。正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一．命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点．例1．在ABC中，已知23a，62c，B=450，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)COS045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵COS222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb23又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A评述：