复合材料结构设计(第2章)

单层的宏观力学分析是层合结构分析的基础。本章研究正交各向异性、均匀、连续的单层在线弹性、小变形情况下的刚度和强度。132212121正应力的符号：拉为正，压为负；剪应力的符号：正面正向或负面负向为正，否则为负。ε1、ε2，γ12表示材料主方向（正轴向）相应的三个应变分量。应变符号：正应变：伸长为正，缩短为负。剪应变：与坐标方向一致的直角减小为正，增大为负。单层板是正交各向异性材料考虑复合材料处于线弹性、小变形情况，，故叠加原理仍能适用，所以，全部应力分量引起某一方向的应变分量，等于各应力分量引起该方向应变分量的代数和。因而可以把组合应力看成单轴应力的简单叠加。利用单轴试验的结果建立正轴的应力-应变关系。2121121212112+21221+(1)纵向单轴试验111111)1(12)1(1)1(1EE纵向泊松比,即)1(1)1(2211212(T)1(L)1112PP=P/A11E112121E21(L)2(T)22(2)横向单轴试验222)2(22)2(122)2(21EE)2(2)2(112221PP=P/A2(3)面内剪切实验1212121G2(T)1(L)1G12121212ytxyMMx薄壁圆管扭转试验21121212112+21221+(4)单层板的正轴应力-应变关系}{][}{11S利用叠加原理：12121222111)2(2)1(2221211)2(1)1(11111GEEEE12211221122112211000101GEEEE122166221212111221S000SS0SS1266222221112111111GSESEESES缩写为柔量分量与工程弹性常数的关系：.,,1,1,111211221266122221112SSSSSGSESE解出1，2和12，得到应力-应变关系式；121222121221211112,,GMEEMEMME式中1)1(21M模量分量（或刚度分量）.0,,,,,62266116212112121266222111QQQQEMQEMQGQMEQMEQ以模量分量表示的应力-应变关系式：12216622211211122166626126222116121112210000QQQQQQQQQQQQQQ缩写为}{][}{1Q12211212)1(,,,,22211111226612222111QQQMQQQQQGMQEMQE模量分量与工程弹性常数的关系模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵互为逆矩阵},{][}{11Q}.]{[][}{][1111QQQ}{}{][],[][][111IIQQ}{][}{111Q][][][][11QSSQ单层板的正轴刚度有三种形式工程弹性常数由简单试验(如拉伸、压缩、剪切、弯曲等)获得或用细观力学方法预测，具有明显的物理意义、更直观。柔量分量应变-应力关系式的系数，用于从应力计算应变，它与工程弹性常数的互换非常简单模量分量应力-应变关系式的系数，用于从应变求应力，它是计算层合板刚度的一组基本常数可以互换，各有用处2211EE刚度性能必须满足互等关系式：测量的数据不准确；进行的计算有错误材料不能用线弹性应力-应变关系式描述如果不满足4个独立的常数，E1,E2,12和G12)6,2,1,()6,2,1,(jiSSjiQQjiijjiij模量或柔量都存在对称性2112SS00066,22,1166,22,1112,2,1QQQSSSGEE012,2,1GEE2211EE单层的弹性模量、具有重复下标的柔量分量及模量分量均为正值。由式（2-11）知，Q11=ME1，M0，利用式（2-17）可得2121/EE1222/EE或工程弹性常数的限定条件121)1(M2211EE弹性常数的限制——作用突破传统材料的概念，大胆设计复合材料可以用来检验材料的试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致解微分方程时，确定合适的工程实用解ESESSSSSSS1211122112111112121112211)(20000122166111212111221Q000QQ0QQG)1(2EQ1EQ1EQ66212211对于各向同性材料，已知E、G、，求Qij和Sij？[[例例22--11]]已知由表2-1给出的E-玻璃/环氧复合材料的工程弹性常数，试求应力分量为MPaMPaMPa15,30,4001221时的应变分量和模量分量。解（1）求柔量分量：由式（2-6）得.5.2412415.014.411,736.6006736.06.3826.0,9.1201209.027.811,91.2502591.06.3811111266111121121122211111TPaGPaGSTPaGPaESSTPaGPaESTPaGPaES（2）求应变分量：由式（2-7）得.10623.310155.241,10933.010)309.120400736.6(,10162.1010)30736.640091.25(36126612362221212362121111SSSSS015.1)1()1(11221121EEMGPaGQGPaEMQQGPaMEQGPaMEQ14.418.239.8,2.391266212112222111(3)求模量分量[例2-2]已知实验测得硼纤维/环氧复合材料的E1=83.0GPa,E2=9.31GPa97.11,22.02。试判断测试结果是否合理？1211)(1037.20.8397.1GPaE1222)(1036.231.922.0GPaE两者接近相等。虽然97.11远大于各向同性材料泊松比的取值上限，但满足对称性条件2211EVEV另外99.2)(97.12/1211EE335.0)(22.02/1122EE说明实验数据是合理的。材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致斜铺或缠绕12y+2.2单层板的偏轴刚度x单层的偏轴刚度为单层非材料主方向的刚度。复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。•例如，当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态是偏轴下给出的（即计算坐标系一般设在圆柱壳的轴向和周向），因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（或应变）的转换。p2xxyyxxyy1yxy单层的偏轴应力状态及应力的转换2xxxyyxxyy1+TT_2.2.1应力转换和应变转换(1)转换的术语xyxyxyyxyy(1)转换的术语X，y表示偏轴向。单元体外法线方向x与材料主方向1之间的夹角为θ，θ角称为单层的方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角θ逆时针转向为正，顺时针转向为负。坐标转换角α（材料力学）它表明坐标转换前后的夹角。规定由转换前的轴（旧轴）转至转换后的轴（新轴），逆时针转向为正，顺时针转向为负。偏轴至正轴的转换α=+θ正转换正轴至偏轴的转换α=-θ负转换(2)应力转换公式应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。由偏轴至正轴的应力转换xyyxnmmnmnmnmnmnnm222222122122－}}{[}{1xT22222222][nmmnmnmnmnmnnmT－122122222222nmmnmnmnmnmnnmxyyx缩写为方阵[]称为应力转换矩阵T式中m=cosθ，n=sinθ。•由正轴应力求偏轴应力的公式}{][}{11TxT缩写为,方阵[]称为应力负转换矩阵－1(3)应变转换公式由偏轴应变分量求正轴应变分量的公式xyyxnmmnmnmnmnmnnm222222122122}]{[}{1xT由正轴应变求偏轴应变的公式122122222222nmmnmnmnmnmnnmxyyx－－}{][}{11TxT-QijTQij(i,j=1,2,6)(i,j=1,2,6)正轴应力正轴应变偏轴应变偏轴应力偏轴应力-应变关系的建立过程xxyyxyxy2.2.2单层板的偏轴模量xxy(1)利用应变正转换将偏轴应变转换为正轴应变xyyxT][1221(2)利用正轴应力-应变关系式（2-12）得到偏轴应变与正轴应力的关系，由式（2-12）得到xyyxTQQ]][[][12211221(3)利用应力的负转换得到偏轴应变与偏轴应力的关系。将式（a）代入式（2-26）得xyyxxyyxTQT][][][1xyyxxyyxQQQQQQQQQ666261262221161211][][][][1TQTQnmQQQmnQQQQmnQQQnmQQQQnmQQQQnmQQnmQQQnmQQmQnmQQnQQnQnmQQmQQ3661222366121126366122236612111622661222114466662266221144121242222661241122422226612411112)2(2)2(22)(4)(2222{σx}=[Q]{εx}。11Q、12Q、22Q、66Q是θ的偶函数，16Q、26Q是θ的奇函数；模量转换公式（2-36）只适用从正轴到偏轴的转换,不能相反，也不能用于从某一偏轴到另一偏轴的模量转换。下标为“16”和“26”的模量分量16Q和26Q是联系剪应变和正应力的耦合分量，而下标为“61”和“62”的模量61Q和62Q是联系正应变和剪应力的耦合分量。这些耦合分量在正交各向异性材料的正轴向是不存在的。偏轴模量只有四个独立的材料弹性常数。模量转换公式（倍角三角函数的表达形式）利用三角恒等式