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理科数学试题 第１页(共４页)绝密★启用前２０２０年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷)理科数学(考试时间:１２０分钟ꎻ试卷满分:１５０分)注意事项:１.答卷前ꎬ考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上ꎮ２.回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ３.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回ꎮ第Ⅰ卷(选择题 共６０分)一、选择题:本题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ共６０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.已知集合Ｍ＝{ｘ１ｘ１}ꎬＮ＝{ｘ｜｜ｘ＋１｜１}ꎬ则Ｍ∩Ｎ＝( )Ａ.⌀Ｂ.{ｘ｜－２ｘ０}Ｃ.{ｘ｜－２ｘ１}Ｄ.{ｘ｜０ｘ１}２.若复数ｚ满足｜ｚ－３－ｉ｜＝１(ｉ为虚数单位)ꎬ则复数｜ｚ｜的最大值为( )Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.３＋１３.已知ａ＝(ｔａｎ２π５)０.１ꎬｂ＝ｌｏｇ３２ꎬｃ＝ｌｏｇ２(ｃｏｓ３π７)ꎬ则( )Ａ.ａｂｃＢ.ｂａｃＣ.ｃａｂＤ.ａｃｂ三角锥垛４.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数ꎬ如１ꎬ３ꎬ６ꎬ１０ꎬ１５ꎬ.我国宋元时期数学家朱世杰在«四元玉鉴»中所记载的“垛积术”ꎬ其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(如图所示ꎬ顶上一层１个球ꎬ下一层３个球ꎬ再下一层６个球ꎬ).若一“落一形”三角锥垛有１０层ꎬ则该堆垛总共球的个数为( )Ａ.５５Ｂ.２２０Ｃ.２８５Ｄ.３８５５.下列图象中ꎬ不可能是函数ｆ(ｘ)＝(ｅｘ＋ｅ－ｘ)ｓｉｎ(ｘ＋φ)(０≤φ≤π)的图象的是( )理科数学试题 第２ 页(共４页)６.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一ꎬ计数形式有纵式和横式两种ꎬ如图１所示.金元时期的数学家李冶在«测圆海镜»中记载:用“天元术”列方程ꎬ就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”ꎬ即是一种用数学符号列方程的方法ꎬ“立天元一为某某”ꎬ意即“设ｘ为某某”.如图２所示的天元式表示方程ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋＋ａｎ－１ｘ＋ａｎ＝０ꎬ其中ａ０ꎬａ１ꎬꎬａｎ－１ꎬａｎ表示方程各项的系数ꎬ均为筹算数码ꎬ在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字ꎬ“太”或“元”向上每层减少一次幂ꎬ向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料ꎬ判断图３所示的天元式表示的方程是( )Ａ.ｘ２＋２８６ｘ＋１７４３＝０Ｂ.ｘ４＋２７ｘ２＋８４ｘ＋１６３＝０Ｃ.１７４３ｘ２＋２８６ｘ＋１＝０Ｄ.１６３ｘ４＋８４ｘ３＋２７ｘ＋１＝０７.执行如图所示的程序框图ꎬ输出结果Ｓ＝( )Ａ.－５０Ｂ.－６０Ｃ.－７２Ｄ.６０８.已知单位向量ａꎬｂ的夹角为θꎬ且ｔａｎθ＝１２ꎬ若向量ｍ＝５ａ－３ｂꎬ则｜ｍ｜＝( )Ａ.２Ｂ.３Ｃ.２６Ｄ.２或２６９.已知(２ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂｘ)７的展开式中ｘ４的系数是４２ꎬ则常数ａꎬｂ应当满足的条件是( )Ａ.ａ∈Ｒꎬｂ＝１Ｂ.ａ∈Ｒꎬｂ＝－１Ｃ.ａ∈Ｒꎬｂ＝±１Ｄ.ａ＝１ꎬｂ∈Ｒ１０.已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａｂ０)的左、右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ２的直线与椭圆Ｃ交于ＡꎬＢ两点.若｜ＡＢ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜ꎬ｜Ｆ１Ａ｜＝１２｜Ｆ１Ｂ｜ꎬ则椭圆Ｃ的离心率为( )Ａ.１＋１４５２０Ｂ.１４５－１２０Ｃ.１４５－１１８Ｄ.１＋１４５１８１１.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－ｎ＋１)＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋＋ａｎｘｎꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)(ｘ－ｎ)＝ｂ１ｘ＋ｂ２ｘ２＋＋ｂｎ＋１ｘｎ＋１ꎬ其中ｎ∈Ｎ∗ꎬａｉ∈Ｒ(ｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ)ꎬｂｉ∈Ｒ(ｉ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ＋１)ꎬ有下述四个结论:①ａ１＋ａ２＋＋ａｎ＝ｂ１＋ｂ２＋＋ｂｎ(ｎ≥２)ꎻ②ｂ１＝(－１)ｎｎ!ꎻ③ｂｉ＝ａｉ－１－ｎａｉ(ｉ＝２ꎬ３ꎬꎬｎ)ꎻ④ｂ１＋ｎｂ２＋ｎ２ｂ３＋＋ｎｎ－１ｂｎ＝－ｎｎ.其中所有正确结论的编号是( )Ａ.①③④Ｂ.②③④Ｃ.②③Ｄ.②④１２.设定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ)＝２ｆ(ｘ＋１)ꎬ且当ｘ∈[－１ꎬ０)时ꎬｆ(ｘ)＝－ｘ(ｘ＋１).若对任意ｘ∈[λꎬ＋∞)ꎬ不等式ｆ(ｘ)≤３４恒成立ꎬ则实数λ的最小值是( )Ａ.－１７８Ｂ.－９４Ｃ.－１１４Ｄ.－２３８理科数学试题 第３ 页(共４页)第Ⅱ卷(非选择题 共９０分)二、填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.已知数列{ａｎ}是等差数列ꎬＳｎ是其前ｎ项和.若ａ３ａ６＋ａ９＝３ꎬＳ１１＝２２ꎬ则ａ８＝.１４.在平面区域２ｙ－２ｘ≤１ꎬｘ≤２ꎬｙ≥－１ìîíïïïï内随机取一点(ａꎬｂ)ꎬ使二次函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋２ｂｘ－ａ＋２在Ｒ上无零点的概率为.１５.甲、乙两人进行象棋比赛ꎬ采取五局三胜制(当一人先赢３局时获胜ꎬ比赛结束).棋局以红棋与黑棋对阵ꎬ两人执色轮流交换ꎬ执红棋者先走.假设甲执红棋时取胜的概率为２３ꎬ执黑棋时取胜的概率为１２ꎬ各局比赛结果相互独立ꎬ且没有和局.若比赛开始ꎬ甲执红棋开局ꎬ则甲以３∶２获胜的概率为.１６.中国古代数学家刘徽在«九章算术注»中记述:羡除ꎬ隧道也ꎬ其形体上面平而下面斜ꎬ一面与地面垂直ꎬ并用“分割法”加以剖分求其体积.如图所示的五面体ＡＢＣＤＥＦ是一个羡除ꎬ两个梯形侧面ＡＢＣＤ与ＣＤＥＦ相互垂直ꎬＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ.若ＡＢ＝１ꎬＥＦ＝２ꎬＣＤ＝３ꎬ梯形ＡＢＣＤ与ＣＤＥＦ的高分别为ｈ１＝３和ｈ２＝１ꎬ则该羡除的体积Ｖ＝ꎻ由此归纳出求羡除体积的一般公式为Ｖ＝.三、解答题:共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７~２１题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第２２、２３题为选考题ꎬ考生根据要求作答.(一)必考题:共６０分.１７.(１２分)已知在△ＡＢＣ中ꎬ三个内角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且２ａｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｓｉｎ２Ａ＝ａｂ.(Ⅰ)求△ＡＢＣ的外接圆半径ꎻ(Ⅱ)若ａ＝３ꎬ求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值.１８.(１２分)已知ＤꎬＥ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢꎬＡＣ上的一点ꎬＤＥ∥ＢＣꎬ且｜ＡＤ｜｜ＡＢ｜＝λ(０λ１).如图所示ꎬ将△ＡＤＥ沿ＤＥ折起为△Ａ１ＤＥꎬ使Ａ点位于Ａ１点的位置ꎬ连接Ａ１ＡꎬＡ１ＢꎬＡ１Ｃ.(Ⅰ)当λ＝１２时ꎬ记平面Ａ１ＢＣ与平面Ａ１ＤＥ的交线为ｌꎬ证明:ｌ⊥ＡＡ１ꎻ(Ⅱ)若△ＡＢＣ为直角三角形ꎬ∠ＡＢＣ＝９０°ꎬ且将△ＡＤＥ沿ＤＥ折成直二面角.求当λ为何值时ꎬ平面Ａ１ＢＣ与平面Ａ１ＤＥ所成的二面角为π３.理科数学试题 第４ 页(共４页)１９.(１２分)甲、乙两名运动员共参加３次百米赛跑预赛ꎬ赢２次以上者(包含２次)获得决赛资格.每次预赛通过摸球的方法决定赛道ꎬ规则如下:裁判员从装有ｎ个红球(ｎ∈Ｎ∗)和２个白球的口袋中不放回地依次摸出２球ꎬ若２球的颜色不同ꎬ则甲在第一赛道ꎬ否则乙在第一赛道(每次赛道确定后ꎬ再将取出的两个球放回袋中).假设甲获得决赛资格的概率为７２７ꎬ每次预赛结果互相独立ꎬ且无相同成绩.(Ⅰ)当口袋中放入红球的个数ｎ为多少时ꎬ３次比赛中甲恰有２次在第一赛道的概率最大ꎻ(Ⅱ)若在３次比赛中ꎬ运动员每赢一次记１分ꎬ否则记－１分ꎬ求甲得分Ｘ的分布列和数学期望.２０.(１２分)已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ０ꎬｂ０)的右焦点为Ｆꎬ半焦距ｃ＝２ꎬ点Ｆ到右准线ｘ＝ａ２ｃ的距离为１２ꎬ过点Ｆ作双曲线Ｃ的两条互相垂直的弦ＡＢꎬＣＤꎬ设ＡＢꎬＣＤ的中点分别为ＭꎬＮ.(Ⅰ)求双曲线Ｃ的标准方程ꎻ(Ⅱ)证明:直线ＭＮ必过定点ꎬ并求出此定点坐标.２１.(１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝２ｘ２ｅ２ｘ＋ｌｎｘ(ｘ０).(Ⅰ)证明:ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋∞)上有唯一零点ꎻ(Ⅱ)若对任意ｘ∈(０ꎬ＋∞)ꎬｅ２ｘ－ａ－ｌｎｘｘ≥１ｘ恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.(二)选考题:共１０分.请考生在第２２、２３题中任选一题作答.如果多做ꎬ则按所做的第一题计分.２２.[选修４－４:坐标系与参数方程](１０分)已知在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθꎬｙ＝３ｓｉｎθ{(θ为参数)ꎬ直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｍ－２ｔꎬｙ＝１＋ｔ{(ｔ为参数).(Ⅰ)若ｍ＝１ꎬ求曲线Ｃ与直线ｌ的两个交点之间的距离ꎻ(Ⅱ)若曲线Ｃ上的点到直线ｌ的距离的最大值为２５ꎬ求ｍ的值.２３.[选修４－５:不等式选讲](１０分)已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ＋ｔ｜＋｜ｘ－１｜－２ꎬｔ∈Ｒ.(Ⅰ)当ｔ＝１时ꎬ解不等式ｆ(ｘ)≥２ꎻ(Ⅱ)若不等式ｆ(ｘ)－ｔ－２≥０恒成立ꎬ求实数ｔ的取值范围.１ 理科数学(答案全解全析)一、选择题:本题共１２小题ꎬ每小题５分ꎬ共６０分.１.Ｂ【命题意图】本题考查不等式及其运算等知识.【解题思路】由１ｘ１可得ꎬｘ０或ｘ１ꎬ由｜ｘ＋１｜１可得ꎬ－２ｘ０ꎬ所以Ｍ∩Ｎ＝{ｘ｜－２ｘ０}.故选Ｂ.２.Ｃ【命题意图】本题考查复数的概念及其运算能力.【解题思路】设ｚ＝ｘ＋ｙｉꎬ由｜ｚ－３－ｉ｜＝１可得(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝１ꎬ即复数ｚ在复平面上对应的点的轨迹是以(３ꎬ１)为圆心ꎬ１为半径的圆ꎬ由数形结合知ꎬ｜ｚ｜的最大值为(３)２＋１２＋１＝３.故选Ｃ.３.Ａ【命题意图】本题考查三角函数、对数、指数等知识.【解题思路】ａ＝(ｔａｎ２π５)０.１(ｔａｎ２π５)０＝１ꎬｂ＝ｌｏｇ３２∈(０ꎬ１)ꎬｃ＝ｌｏｇ２(ｃｏｓ３π７)ｌｏｇ２１＝０.故选Ａ.４.Ｂ【命题意图】本题以数学文化为背景ꎬ考查数列知识及运算能力.【解题思路】“三角形数”的通项公式ａｎ＝ｎ(ｎ＋１)２ꎬ前ｎ项和Ｓｎ＝１＋３＋６＋＋ｎ(ｎ＋１)２＝１２＋２２＋＋ｎ２２＋１＋２＋＋ｎ２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)１２＋ｎ(ｎ＋１)４.当ｎ＝１０时ꎬＳ１０＝１０(１０＋１)(２０＋１)１２＋１０(１０＋１)４＝２２０.故选Ｂ.５.Ａ【命题意图】本题考查函数图象及函数单调性等知识.【解题思路】函数ｆ(ｘ)＝(ｅｘ＋ｅ－ｘ)ｓｉｎ(ｘ＋φ)(０≤φ≤π)为非单调函数ꎬ排除ＢꎬＣꎬＤ.故选Ａ.６.Ｃ【命题意图】本题以数学文化为背景ꎬ考查数学阅读理解能力等.【解题思路】对照图１ꎬ可知图３中的数字从上到下依次为１ꎬ２８６ꎬ１７４３.又“元”在２８６旁ꎬ故２８６为一次项系数ꎬ１７４３为二次项系数ꎬ１为常数项.故选Ｃ.７.Ｄ【命题意图】本题考查程序框图及运算能力.【解题思路】输出Ｓ时ꎬｉ＝１０＋１＝１１ꎬ所以Ｓ＝－１(１＋１)＋２(２＋１)－３(３＋１)＋４(４＋１)－５(５＋１)＋６(６＋１)－７(７＋１)＋８(８＋１)－９(９＋１)＋１０(１０＋１)＝－１２＋２２－３２＋４２－５２＋６２－７２＋８２－９２＋１０２＋(－１＋２－３＋４－５＋６－７＋８－９＋１０)＝(２＋１)(２－１)＋(４＋３)(４－３)＋＋(１０＋９)×(１０－９)＋５＝６０.故选Ｄ.８.Ａ【命题意图】本题考查向量及运算能力.【解题思路】由ｔａｎθ＝１２ꎬθ为ａꎬｂ的夹角ꎬ故θ为锐角ꎬ所以求得ｃｏｓθ＝２５５.｜ｍ｜２＝(５ａ－３ｂ)２＝１４－６５ａｂ＝１４－６５｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ＝２ꎬ所以｜ｍ｜＝２.故选Ａ.９.Ｃ【命题意图】本题考查二项式定理、通项公式及运算能力.【解题思路】(ｘ＋ｂｘ)７的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃｒ７ｘ７－ｒ(ｂｘ)ｒ＝Ｃｒ７ｂｒｘ７－２ｒꎬ其中ｘ３的系数为ｂ２Ｃ２７ꎬ展开式中没有含ｘ４的项ꎬ所以(２ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂｘ)７中ｘ４的系数为２ｂ２Ｃ２７＝４２ꎬ所以ｂ＝±１ꎬ而ａ∈Ｒ.故选Ｃ.１０.Ｄ【命题意图】本题考查椭圆、离心率等知识及运算能力.【解题思路】设椭圆Ｃ的焦点坐标Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)ꎬ则｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃꎬ｜ＡＢ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃꎬ由｜Ｆ１Ａ｜＋｜Ｆ２Ａ｜＝２ａꎬ｜Ｆ１Ｂ｜＋｜Ｆ２Ｂ｜＝２ａꎬ｜ＡＢ｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜ꎬ｜Ｆ１Ａ｜＝１２｜Ｆ１Ｂ｜ꎬ容易求得｜Ｆ１Ｂ｜＝８ａ－４ｃ３ꎬ｜Ｆ１Ａ｜＝４ａ－２ｃ３ꎬ｜Ｆ２Ａ｜＝２ａ＋２ｃ３ꎬ｜Ｆ２Ｂ｜＝４ｃ－２