吉他弦振动与影响音调因素

吉他弦的振动特点与影响音调因素物理111姓名：杨小龙学号：1151002142【摘要】本文分析吉他弦，对弦的振动进行分析，对于吉他,弦的粗细不同，发出的音调不同。一、分析弦是拉紧亲柔软的，长为l，两端钉在O，L两点，建立方程，弦振动方程(又称一维波动方程)utt＝a2uxx+f(x，t)是最简单、最典型的双曲型偏微分方程，对于一个具体的弦振动，还必须有u适合的定解条件，初始条件u|t＝0=φ(x)，ut|t＝0=Φ(x)给出了初始时刻t=0时弦上各点的位移和速度。第一边界条件(或狄利克雷(Dirichlet)边界条件)u|x=0＝h1(t)，u|t=l＝h2(t)给出了弦的两个端点的位移变化，式中l是正常数，表示弦的长度。第三边界条件(或诺伊曼(Neumann)边界条件)ux|x=0＝h1(t)，ux|x=t＝h2(t)给出了弦的两个端点所受的垂直于弦的外力作用。第三边界条件(或诺宾(Robin)边界条件)(ux+σ1u)|x=0＝h1(t)，(ux-σ2u)|x=l＝h2(t)给出了弦的两个端点的位移与所受外力作用的一个线性组合，式中σ1，σ2是正常数。解其方程，求出定解。吉他弦振动的发音研究1，吉他乐器的弦振动当弹拨吉他弦时，弹拨力使弦向一边运动而产生位移χ，这时弦的张力由原来的T增至T+△T=T+YSLL△,式中Y为杨氏模量，S为弦横截面积，LL△为弦的相对伸长，这时弦的弹性恢复力为F=2(T+YSLL△)sin,在忽略阻尼情况下,其运动方程可表示为sin)(2llYSTxm△,式中llxllxx2222,sin△，令,202mlT当lx，并忽略无穷小量33lx，则运动方程（1）可写成002xx这是简谐振动的运动方程，用能给出系统运动性质全局图像的相平面法表示，一运动状态变量x和.x为直角坐标建立相平面，则方程（2）给出的相轨线为一族同心圆曲线，在原点是一个奇点,没有相轨线通过。而被封闭的相轨线环绕,对应着一个稳定的平衡状态，封闭的相轨线对应于周期运动,对于任意初始条件（弹拨力）,弦都将产生周期振动。2.很据图像列出方程及定解条件xx2ttuau且方程①，②，③的解u=u(1)+u(2)，式中u(1)和u(2)分别是方程④，⑤，⑥和⑦的解。首先我们用分离变量法构造性地求解方程④，⑤，⑥。令u(1)(x，t)=X(x)T(t)满足方程④和边界条件⑥，则T″/a2T=X″/X，X(0)=X(l)=0，从而得到X满足的常微分方程齐次边值问题：X″+λX=00xl⑧X(0)=X(l)=0和T满足的常微分方程：T″+a2λT=0t0⑨式中λ是常数，经讨论，方程⑧仅当时才有非零解方程⑨这时相应的解是，Ak，Bk是待定常数，k=1，2，…。显然对于任意的自然数k，u(1)k(x，t)=xk(x)Tk(t)满足方程方程④和边界条件方程⑥。现将所有的u(1)k(x，t)叠加起来，得到：令u(1)满足初始条件方程⑤，则有：振动着的弦激起空气的振动，人的耳朵就感觉现在发出声音。声音的大小由振动的振幅来决定，音调的高低依赖于振动频率，弦发出的最低音由弦的最低固有频率W1来确定，叫做弦的基因。其余对应与频率W2，W2，W3，......的音叫做泛音。而音品（音色）则是与基音和伴随着它的诸泛音的状况有关。在区域{(x，t)|0≤x≤l，t≥0}上，由弦振动方程、初始条件以及3类边界条件中任意一对组成的定解问题称为弦振动方程的混合问题。如果弦很长，而所关心的又只是在较短时间内离边界较远的一段弦的运动情况，那么可以忽略边界条件的影响，并把弦的长度视为无穷，在区域{(x，t)|-∞x+∞，t≥0}上，由弦振动方程和初始条件组成的定解问题称为弦振动方程的柯西问题或初值问题。参考文献1陈予恕著，非线性振动力学，天津科技出版社，1983年7月弦乐音调影响因素的理论分析2四川大学教学系（数学物理方法）教研室编