原创经典习题(弧中点问题)

1原创经典习题（弧中点）由一个课本例题引出的一系列习题，作业含答案例1．在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，连接AD．（1）如图1，①求证AD⊥BC；②若AB=4,∠B=80°，求BD的长，求由BD，AB，AD围成的封闭图形的面积（2）如图2，连接ED，求证：DC=DB=DE;基础类型：角的计算，扇形面积的计算，同弧所对的圆周角相等练习1.如图3，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E．若∠B=2∠BAC,求BE的长．可得∠BAC＝36°，利用弧长公式可得练习2.如图4,是四边形AEDB是圆内接四边形,AB是直径,延长AC与BD交于点C,若ED=BD,求证:AB=AC．例2.在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，连接OD．（1）如图5，求证：OD是⊿ABC的中位线；（2）如图6，过点D作DH⊥AC于H，求证：DH是⊙O的切线．直线与圆的位置关系，三角形与四边形的综合EDOABC图1EDOABC图2EDOABC图3EDOABC图4EDOABC图5HEDOABC图6EDOABC图7HEDOABC图82EDOABCEDOABC练习：如图7，在等边⊿ABC中，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，连接OD，DE．求证：四边形AODE是菱形．如图8，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，过点D作⊙O的切线DH交AC于点H，求证：CH=EH．略例3.在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，连接DE．（1）求证：⊿CDE∽⊿CAB；（2）2OBCECD．练习：如图10，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，交另一腰于点E，连接DE，AD．若AB=13，AD=12，求CE的长．CE=5013图形的相似例4.如图11，点C是以AB为直径的⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点E．（1）如图12，连接OD交BC于点F，求证：OD垂直平分BC；（2）如图12，若AC=6，AB=10，求DF的长及AD的长．练习：如图13，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，点M是BC上一点，若AC=6，AB=10，求MNAN的最大值，并说明此时点M在什么位置．M在弧BC的中点，此时比值最大，最大值为13图9图10EDOABC图11FEDOABC图12NOABCM图133例5.如图11，点C是以AB为直径的⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点E，连接CD．求证：(1)⊿CDE∽⊿ADC；（2）若AB=5，CD=5，求AC的长．练习：如图11，点C是以AB为直径的⊙O上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D，交BC于点E，连接CD．求证：（1）⊿CDE∽⊿BAE；(2)2CDDEDA；（3）判断2CDCECB是否成立，并说明理由．（1）（2）略，（3）不成立，理由略．例6.如图12，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是BC的中点，交BC于点E，延长AC与BD交于点P．若BD＝10，AB=10，用三种不同的方法求AC的长．方法一：用图形的相似，如图12，由⊿CDP∽⊿BAP，得2PDCPOB,又10PDBD，∴2PC,又可得AB=AP，∴AC=8EDOABC图11EPDOABCPDOABCPDOABC图12图13图144PQEGDOABC方法二：用勾股定理，如图13，连接OD交BC于点E，可知DE是⊿ABP的中位线，BE是两直角三角形的公共直角边，设DE=x，则OE=5x，则勾股定理得：2222(10)5(5)xx，解得1x，∴54x可得AC=8方法三：用等面积法，如图14，由勾股定理得AD=310，∵PBADAPBC，得21031010BC,∴BC=6，∴AC=8作业1．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD．⑤CB∥GD.其中正确结论的个数是（B）A．1B．2C．3D．42．如图，C是直径为AB的⊙O上一点，D是弧AC的中点，DE⊥BC于E，ED交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF=103，AF=OA，求弧AC的长．（1）略；（2）20353.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=8，求CE的长．(1)略；（2）16554.如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F．（1）在图中与△BOF相似的三角形有______个；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值．(1)3(2)略（3）21265.如图①，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AB=10，AD=DC=25．（1）求BC的长；（2）作弦CF，交BD于E（如图②），当DC=DE时，求CF的长．（1）连结AC，OD，交点为M，由垂径定理可知，OD垂直平分AC，∴OA2-OM2=AD2-DM2．设OM=x，则52-x2=(25)2-(5-x)2，∴x=3，又因为O，M分别是AB，AC的中点，∴BC=2OM=6（2）由DC=DE得∠DEC=∠DCE，即∠1+∠2=∠3+∠4，由AD=DC得∠3=∠2，∴∠1=∠4=45°，作BN⊥CF，N为垂足，则CN=BN=2322BC，连结BF，则BF=2522AB∴FN=24185022BNBF，∴CF=CN+FN=72．图②图①ABCDOOFEDCBA4321ABCDONFE