人教版-高中数学选修2-1-2.2.2-椭圆的简单几何性质2)

12.2.2椭圆的简单几何性质（2）2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前3例:求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。22194xy解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：⑴定型；⑵定量22110064xy⑵22110064yx或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程43：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。2222119981xxyy或分类讨论的数学思想232ab3ab3,1ab39ba或，5是离心率常数定直线叫椭圆的准线定点是椭圆的焦点这个点的轨迹是椭圆时（常数比是到一条定直线的距离的与一个定点的距离和它当点eeac,,,,)10eM椭圆第二定义:xyl'l..FF’O.Md62.2.2椭圆的简单几何性质1-----点、直线与椭圆的位置关系2-----弦长公式7(1)点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.探究点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？类比圆可以吗？点与椭圆的位置关系81．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上D练一下9回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与圆相离无公共点．通法10直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)11直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数方法=n2-4mp12222xy+=ab13例1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?1.直线与椭圆的位置关系6k366kk-3366-k33当=时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点141．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m1B．m1且m≠3C．m3D．m0且m≠32.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点变式：22194xy15例2.已知椭圆，直线椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小，最小距离是多少？oxy450mllxyk解：设直线平行于，则可写成：224501259xykxy由方程组2222258-2250064-425-2250yxkxkkk消去，得由，得（）1直线与椭圆的位置关系xy221259-lxy45400：16oxy12k25k25解得=，=-2225402515414145kmld由图可知，直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且思考：最大的距离是多少？1.直线与椭圆的位置关系17练习：已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系.2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxxx1.直线与椭圆的位置关系18设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：221||1||1||ABABABkxxyyk2.弦长公式19例3.已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．2.弦长公式20例4.已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造弦中点问题21点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差弦中点问题例4.已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.22例4.已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，弦中点问题231、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结243、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结251.对于椭圆222210xyabba椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是OMxy最大值为a，最小值为b.新知探究椭圆中的几个最值：262.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？OMxyF新知探究27A1F2F1B2B1A2xyOM化为关于x的二次函数的最值问题.2200221xyab又M00设（x,y）22MF|=2200则|（x-c)+y2222cMF|=aa220|（x-)caa0x2||;aMFac0当x，有最大值2||;aMFac0当x，有最小值28A1F2F1B2B1A2xyOM|MF2|min=|A2F2|=a-c|MF2|max=|A1F2|=a+c293.点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，∠F1MF2为最大？F1OF2xyM点M为短轴的端点.新知探究此时△F1MF2的面积最大30专题：求变量的取值范围或最值思想方法：1.函数法：2.不等式法：3.几何法：化归为求函数值域或最值建立变量不等式并求解从几何图形中确定临界值31例3：(1)椭圆的左焦点是两个顶点，如果到F1直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=.22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0,)AaBb7b题型三：椭圆的离心率问题::0ABbxayab解直线方程为122.7FABbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24.acac或51.2cea1232例3：(2)设M为椭圆上一点，为椭圆的焦点，如果，求椭圆的离心率。22221(0)xyabab12FF、122175,15MFFMFF题型三：椭圆的离心率问题012211275,1590MFFMFFFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea33练习：12212FFFPFPF()221..C.2-2.2122ABD1.设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　　，，D34练习：已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。22(3)(0)xmymm3,2e2213xymmm椭圆：222(2),,33mmmambcmm22334mem1m22a长轴长21b短轴长3,0)2焦点坐标(11,0),(0,)2顶点坐标(