指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

1（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①)0()0(||aaaaaaann；②aann)(（注意a必须使na有意义）。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且;②正数的负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a0,b0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=axa10a1n为奇数n为偶数2图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x0时，y1;x0时,0y1(2)当x0时，0y1;x0时,y1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a0,1aa且logNa常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa且）：①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。（2）对数的重要公式：3①换底公式：loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；②1loglogbaab。（3）对数的运算法则：如果0,1aa且，0,0MN那么①NMMNaaaloglog)(log；②NMNMaaalogloglog；③)(loglogRnMnMana；④bmnbanamloglog。3、对数函数的图象与性质图象1a01a性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当01x时，(,0)y；当1x时，(0,)y（4）当1x时，(,0)y；当01x时，(0,)y（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0cd1ab.4、反函数4指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12yx，y=x-1方法：可画出x=x0；当x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，12yx，y=x-1；当0x01时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，12yx，y=x，y=x2，y=x3。3、幂函数的性质y=xy=x2y=x312yxy=x-1定义域RRR[0，）|0xxRx且值域R[0，）R[0，）|0yyRy且奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；x∈(,0]时，减增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减定点（1，1）