11-5函数展开成幂级数

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第五节函数展开成幂级数第十一章两类问题:求和展开第五节函数展开成幂级数第十一章一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数的充分必要条件三、函数展开成幂级数的方法一、函数的幂级数展开式——泰勒(Taylor)级数定义,为区间若)(,)()(00IIxxxaxfnnn.)()(0的幂级数上可以展开成在则称xxIxf问题:(1)如果能展开,an是什么?(2)展开式是否唯一?(3)在什么条件下才能展开成幂级数?1.函数展开成幂级数2.an的确定、展开式的唯一性若在邻域U(x0,R)内任意阶可导的函数f(x)能展成幂级数:定理11.13),(,)()(000RxUxxxaxfnnn,),2,1,0(!)(0)(nnxfann则其系数且展开式是唯一的.证nnxxaxxaaxf)()()(0010若),(0RxUx)(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf则即得令,0xx),2,1,0()(!10)(nxfnann系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的xf)(00xfa)(01xfa麦克劳林级数(x0=0):)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(定义11.3称处具有任意阶导数,则在设0)(xxfnnnxxnxf)(!)(000)()(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxf处的在为0)(xxfnnxxnxf)(!)(00)(泰勒系数.泰勒级数3.泰勒级数~)(xf(2)收敛域?(3)在收敛域I内,级数是否一定收敛到f(x)?4.泰勒级数基本问题;)(!)()1(000)(nnnxxnxf构造即Ixxxnxfxfnnn,)(!)()(000)(?答:不一定.反例:0,00,e)(21xxxfx),2,1,0(0)0()(nfn且00)(nnxxf的麦克劳林级数为.0)(),(xS内收敛,且其和函数该级数在由此可见,的麦克劳林级数外除)(,0xfx在x=0点任意可导,处处不收敛于).(xf设f(x)在区间I上具有各阶导数,二、函数展开成幂级数的充分必要条件则f(x)在I上能展开成泰勒级数,即)(0)(limIxxRnn定理11.14Ixxxnxfxfnnn,)(!)()(000)(10)1()()!1()()(nnnxxnfxR其中的泰勒公式中的余项)(xf之间),在0(xxξ证由泰勒公式,得nkkkxxkxfxf000)()(!)()()(xRn)(1xSn)(xRn必要性)(Ixxxnxfxfnnn)(!)()(000)(即,)(上能展开为泰勒级数在设IxfIxxfxSnn,则)()(lim1泰勒多项式泰勒级数)(limxRnn),()()(1xsxfxRnn而)]()([lim1xsxfnn)(0Ix充分性),()()(1xRxSxfnn)]()([lim1xSxfnn)(limxRnn,0IxxfxSnn),()(lim1即).()(xfIxf上收敛于的泰勒级数在区间)()(0)(limIxxRnn若三、函数展开成幂级数的方法1.直接展开法的幂级数的展开成xxf)(1º求f(n)(x),f(n)(0),n=0,1,2,···;2º写出幂级数3º判断?0)(limxRnn展开方法直接展开法—用泰勒公式间接展开法—用已有展开式0)(,!)0(nnnxnf并求收敛半径R;),(RRx步骤:例1将展开成x的幂级数.解,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1收敛半径nRlim!1n!)1(1nx2!21x3!31xnxn!1的麦克劳林级数写出xennxxnfxfxffe!)0(!2)0()0()0()(2~即),(收敛区间:12xe余项满足ξe!)1(n1nx),,(x3ºnxnxxxS!1!211)(2=?),(x)0(之间与介于xxen)(0时当通项收敛级数的nun,!1!31!21132nxxnxxxe),(x例2将展开成x的幂级数.解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(kf,)1()0()12(kkf),2,1,0(k!)0()(nfann12,)!12()1(2,0knkknk),2,1,0(k~sinx,)!12()1(012kkkkx收敛半径.R12n余项满足),,(x3°xsin1253)!12(1)1(!51!31nnxnxxx1)1()!1()()(nnnxnfxR]2)1(sin[n!)1(n1nx例3将展开成x的幂级数(m:任意常数).解1,)0(mf,)1()0(mmf)2)(1()0()(mmmfn2°麦克劳林级数mx12!2)1(xmm1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1()1,1(x,)1(nm,1)0(fΔ)(xF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmmxF111)('xmxF1)(1!)1()1()1(nxnnmm11,)(xxF3°设和函数为.)1()(:mxxF下证)()1(xFx1mxm2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1()(xFmnxnnmm!)()1(!)()1(nnmm!)1()1(nnmmm)()1(xFx),(xmF1)0(F2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxF1)()1,1()1()(xxxFm,)1,1(x0)()1()(1xFxmxF{}mx)1(0)()1()()1(1xFxmxFxmm,0])()1[(xFxm,)()1(CxFxm.11)0(CF,得由2!2)1(xmmmx)1(nxnnmmm!)1()1(二项展开式:xm1注1°.1的取值有关处收敛性与在mx2°m为正整数时,得二项式定理:mxxm1)1(2!2)1(xmmmx2121,m时二项展开式分别为3°11x2421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21x21mx)1(nnxnnmmm!)1()1(112.间接展开法例4将展开成x的幂级数.解xcosxsin120)!12(1)1(nnnxn),(x逐项求导:)(sinx根据展开式的唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.xcosnnnxn20)!2(1)1()!2()1(!41!211242nxxxnn),(x例5将展开成x的幂级数.解xx11)]'1[ln()11()1(0xxnnnxx0)1n(l,d)1(d11000xxxxxnnnx1x)1ln(x,011)1(nnnxn连续,.11x因右端幂级数在x=1收敛,1)1ln(xx在而故展开式对x=1也成立,收敛域为.11x注取x=1得,11x,011)1(nnnxn)1ln(x例6将展成的幂级数.解4xt令无关与,展开形式:xaxaxfnnnn)4()(04tx则)4sin(txsintcos4sintsin4cosnnntn20)!2(1)1(21012)!12()1(21nnnntnnnxn20)4()!2(1)1([21])!12()4()1(012nnnnx])4(!31)4(!21)4(1[2132xxx注的幂级数:展开成将)()(xxfnnnxaxf)]([)(0展开形式:思路:)()(1txxt,解出令)]([)(1tfxf代入)(tg的幂级数,展开成再将ttg)(变量代回即可.例7-1将3412xx展成x-1的幂级数.解)3)(1(13412xxxx21x21x222)1(xnnnx2)1()1(81nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x41x1的幂级数展开成将xxarcsin例8解211arcsinxx得取二项展开式中,21m22321!221xx32!!6!!5!!4!!321xxx212)(1x3252321!3xnnxnn1!!2!!121,1!!2!!12111nnnxnn211x得代替xx2422!!4!!32111xxxnnxnn21!!2!!121xxxxd11arcsin02xarcsin)1,1(xnxnn2!!2!!12,12!!2!!12121nxnnxnn1,1!!2!!1211nnnxnn1121x]1,1[:1x1121!)!2(!)!12(1nnnn121!)!2(!)!12(nnnun则令,!)!2(!)!12(nnvnnnvn212432111,0bababa则若1211nvn,1212nvn121nvn1225432nn23)12(1n事实上,121nvunn23)12(1n232321n收敛而1232321nn收敛,1nnu收敛故1121!)!2(!)!12(1nnnn:1x收敛]121!)!2(!)!12(1[1nnnn].1,1[x展开式成立的范围是例9解xxxf23ln将xxxf23lnln11lnx1111nnnnxnnnnxn12111时21x.1的幂级数展成x.23时发散x拆配化一展范围],[2321x121lnx112nnnx211x,212111收敛nnnnn内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—用泰勒公式;(2)间接展开法—用幂级数性质及已有展开式.2.常用函数的幂级数展开式xe11),(xx2!21x,!1nxnx112,12nxxx)1,1(x!)12()1(12nxnnxsin4x

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