幂函数、指数函数、对数函数

幂运算性质同底数幂的乘法：底数不变,指数相加mnmnaaa同底数幂的除法：底数不变,指数相减mnmnaaa幂的乘方：底数不变,指数相乘nmmnaa积的乘方：等于各因数分别乘方的积mmmabab商的乘方（分式乘方）：分子分母分别乘方,指数不变mmmaabb分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m,n（m,n互素），存在唯一的正实数b，使得nmba，我们把b叫做a的mn次幂，记作mnba，那么它就是分数指数幂①正数的正分数指数幂:*0,,1mnmnaaamnNn、且②正数的负分数指数幂:*110,,1mnmnmnaamnNnaa、且正数与复数指数幂意义相仿，但有区别。③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。化简下列式子（1）（2）(3);)(65312121132bababa.)4()3(6521332121231bababa1200.2563433721.5()82(23)()63幂函数1.幂函数的定义形如ayxaR的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数2.幂函数的图像幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同．α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；3、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR[0，）值域R[0，）R[0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，）时，增；x∈时，减增增x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减定点（1，1）4.幂函数的性质及其应用12yx|0xxRx且|0yyRy且(,0]幂函数y＝xα有下列性质：单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．4.幂函数的性质及其应用幂函数y＝xα有下列性质：单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．5.规律方法（1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象（2）.幂函数的图象(,,,aqqyxapqNpp为最简分式）指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数及其运算一般地，如果a0,1aa的b次幂等于N，也即baN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb其中a叫作对数的底数，N叫作真数。logaNb读作以a为底N的对数。常用对数，是以10为底的对数lgN自然对数，是以e为底的对数lne练习：指数与对数的互换对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0，那么log()loglogaaaMNMN事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质：（2）loglog-logaaaMMNN；商的对数=对数的差（3）loglog()naaMnMnR．一个数n次方的对数=这个数对数的n倍那么，请同学们结合前面的性质（1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（2）（3）进行证明。3分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法。设计意图：1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念；2、寻求多种方法，发散学生思维方法二：由性质（1）的结论出发：MNNMNNMaaaaloglogloglogNMNMaaalogloglog方法三：由性质（1）的结论出发：NMNNNMNMaaaaaaloglogloglogloglog这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。（性质3）设logaMp，由对数的定义可得pMa，∴nnpMa，∴lognaMnp，即证得loglognaaMnM．∴lognaMnp，即证得loglognaaMnM通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质如果0a且1a，0M，0N那么（1）log()loglogaaaMNMN；积的对数=对数的和（2）loglog-logaaaMMNN；商的对数=对数的差（3）loglog()naaMnMnR．一个数n次方的对数=这个数对数的n倍说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如11025101010logloglog；（3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数；例如：12log12log4log3log3232)5(log)3(log)5)(3(log222是不成立的，)(log)(log1021010210是不成立的；（4）当心记忆错误：NlogMlog)MN(logaaa，试举反例，NlogMlog)NM(logaaa，试举反例。性质（1）可以进行推广：即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.废话公式logabab换底公式logloglogabaNNb对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.