高数空间解析几何

曲面讨论的两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知方程F(x,y,z)=0，研究这方程的图形；二、旋转曲面定直线L称为旋转轴.一条平面曲线C绕其平面上一条直线L旋转所形成的曲面，称为旋转曲面.绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.建立yoz面上曲线C:f(y,z)=0设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点P(0,0,z)，交曲线C于点M0(0,y0,z0).显然xyzO00,,PMPMzz22,PMxy,00yPM220,yxy因为M0在曲线C上，故f(y0,z0)=0即得C绕z轴旋转的旋转曲面方程:.0),(22zyxf同理,C绕y轴旋转的旋转曲面方程:22(,)0.fyxzCM0.P.ML直线L绕另一条与L相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面圆锥面的顶点,圆锥面的半顶角a(0ap/2)a).建立以顶点为原点,旋转轴为z轴,半顶角为a的圆锥面方程yoz坐标面上直线L的方程z=ycota故L绕z轴旋转的方程z=ycota22xy令cota=a,则所求圆锥面方程为),(2222yxazP25例4P26例5xoz坐标面上的双曲线22221xzac分别绕x、z轴旋xzo转一周，求所得旋转曲面方程绕x轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,曲面方程为22yz2222221xyzacc绕z轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,曲面方程为22xy2222221xyzaacxzo三、柱面曲线C称为柱面的准线，平移的动直线L叫柱面的母线.动直线L沿给定曲线C平移所形成的曲面称为柱面.LC方程f(x,y)=0在xoy平面上表示一条曲线C在Oxyz空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面SxyzO设xOy平面上点N(x,y)在曲线C上,即f(x,y)=0过N作z轴平行线l,则l上的点M(x,y,z)满足空间坐标系Oxyz中的三元方程f(x,y)=0反之亦然因此方程f(x,y)=0在oxyz空间坐标系中表示由平行z轴直线l沿曲线C平移所成曲面.M.N平行于z轴的直线为母线的柱面.方程f(x,y)=0在空间表示以xoy坐标面上的曲线为准线，类似地，方程f(y,z)=0在空间表示以yoz坐标面上的曲线为准线，平行于x轴的直线为母线的柱面.方程f(x,z)=0在空间表示以xoz坐标面上的曲线为准线，平行于y轴的直线为母线的柱面.简单地说，平面坐标系中的曲线方程在空间坐标系中就表示柱面--举例椭圆柱面：12222byaxxyzOxyzO平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的椭圆为准线、1422zx平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xoz坐标面上的椭圆为准线，xyzO2xyzO双曲柱面22221xyba平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的抛物线为准线、平行于z轴的直线为母线.xyzO抛物柱面x2=ayxoy坐标面上的抛物线为准线、三元二次方程平面称为一次曲面．截痕法：曲面形状已知平行截面面积可计算体积;已知平行截面形状可掌握曲面形状．四、二次曲面所表示的曲面称为二次曲面.0),,(zyxF二平面的交线是直线;平面和曲面的交线是平面曲线;二个曲面的交线是空间曲线;曲面方程,平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）,①椭圆锥面22222xyzabxyo当x=0为二条相交直线y=±bzn次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次的：).,,(),,(zyxFttztytxFn若准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0zyt是任意数一般锥面---扩充知识点ozyx②椭球面1222222czbyax1、椭球面与三个坐标面的交线：222210xyabz222210xzacy222210yzbcxozyx2、椭球面与平面z=z0的交线为椭圆同理与平面x=x0和y=y0的交线也是椭圆.2222220020201(1)(1),xyzzabccczzz1222222czbyax3、椭球面的几种特殊情况：,)1(ba1222222czayax的旋转椭球面12222czax由椭圆绕轴旋转生成z122222czayx可写成,)2(cba1222222azayax.2222azyx方程可写为1222222czbyax22221xyaa由圆绕x轴或y轴旋转生成的球面xyzO双曲面③单叶双曲面1222222czbyaxxyzo对垂直于z轴的平面z=z022222200221(1)(1)xyzzabcc对垂直于y轴的平面y=y022222200221(1)(1)xzyyacbb同样,对垂直于x轴的平面x=x0当|y0|b,实轴沿x轴方向当|y0|b,实轴沿z轴方向1222222czbyax直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.单叶双曲面是直纹面④双叶双曲面1222222czbyaxxyo1222222czbyax1222222czbyax0222222czbyax单叶：双叶：...yxzo在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐近锥面：双曲面的渐近锥面（二）抛物面2222xyzab⑤椭圆抛物面用坐标面xoy(z=0)与曲面相截得坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的顶点.xyzo与平面z=z00的交线为椭圆.与平面x=x0和y=y0相交均截得抛物线线.特殊地：当a=b这是由抛物线y2=a2z绕z轴旋转生成的旋转抛物面时，方程变为222xyzaoyxz⑥双曲抛物面（马鞍面）2222xyzab对z=z0,对应于z00,0的截痕是双曲线这些双曲线都以z0=0所对应的直线为共同渐近线byxa对x=x0是形状相同开口朝下的抛物线对y=y0则是形状相同开口朝上的抛物线Ll双曲抛物面是抛物线l当其顶点沿抛物线L平行移动所产生的曲面zbyax2222双曲抛物面是直纹面2222xyzab当x=x0双曲抛物面（马鞍面）是形状相同开口朝下的抛物线220221xzyba抛物线的顶点坐标(x0,)2020,xa顶点坐标满足220xzay顶点轨迹是xoz平面上抛物线马鞍面与xoz平面相交的截痕3、空间曲线0),,(0),,(zyxGzyxF[1]空间曲线的一般方程)()()(tzztyytxx[2]空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线P32例1方程组221236xyxzxyz表示的曲线222222()()22zaxyaaxy表示的空间曲线P32例2方程球心在原点,半径为a的上半球面圆柱面:母线平行于z轴,底面是直径为a,圆心()的圆,02axyz圆柱底面参数化:cos(1cos)222aaaxx,sin2ay参数的几何意义:圆心角,0≤≤2p代入球面方程得21cossin22zaaxaa(1cos)2sin2sin2axayza抛物柱面x2=1-z和平面y=0,z=0及x+y=1所围立体xyz)()()(tzztyytxx[2]空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线AMMtxyzo空间动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速率绕z轴旋转,同时又以线速率v沿平行于z轴的正向上升(其中、v都是常数),这时动点M的轨迹称为螺旋线.试建立它的参数方程解取时间t为参数,t=0时动点位于A(a,0,0)设时刻t时动点M位于(x,y,z)设M在xoy平面上的投影M′(x,y,0)yAxtMataxcostaysinvtz螺旋线的参数方程螺距逃逸实验:0-0试验逃逸塔塔高8米,位于飞船顶部,它装有10台发动机PLCxyzO设L为已知空间曲线,P为已知平面三、空间曲线在坐标面上的投影则以L为准线，垂直于P的直线为母线的柱面称为L关于P的投影柱面投影柱面与平面P的交线C称为曲线L在平面P上的投影曲线.特别是以L为准线，母线平行于z轴的柱面称为L关于xoy面的投影柱面,曲线C称为L在xoy上的投影曲线.0),,(0),,(zyxGzyxF中消去变量z,得：在空间曲线的一般方程：曲线L在xoy面上的投影柱面H(x,y)=0曲线0),,(0),,(zyxGzyxF中消去变量z,得：在空间曲线的一般方程：00),(zyxH类似地：空间曲线在00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线yoz面上的投影曲线,xoz0),,(0),,(zyxGzyxF问题:各个投影柱面方程是什么?理由是什么?曲线必在柱面上;柱面必包含曲线2222221,:(1)(1)1xyzCxyz例求二球面的交线在xoy坐标面上的投影曲线方程.解这就是消去z后所得在xoy坐标面的投影柱面方程，因而曲线C在xoy坐标面上的投影曲线是椭圆.221()2111240yxz把x2+y2+z2=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得y+z=1把y+z=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得x2+2y2-2y=0zxy例.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去zxyo1C面上的投影为在则交线xoyC.0,122zyx圆面上的投影为所求立体在xoy.122yxyyxzyx8,64:22222例求曲线在xoy,y0z坐标面上的投影曲线的方程.yyx822解关于xoy坐标面的投影柱面方程因而曲线在xoy坐标面上的投影曲线是圆..0,822zyyx消x得到曲线关于yoz坐标面的投影柱面的方程.6482yz在yoz坐标面的投影曲线是一段抛物线2864,080zyyx得x2+y23x5y=0，在xoy坐标面上的投影曲线的方程.例求曲线053:22zyxyxz解从曲线的方程中消去z，即,217)25()23(22yx它是曲线关于xoy坐标面的投影柱面－圆柱面的方程，在xoy坐标面上投影曲线是圆..0,217)25()23(22zyx投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面消元[4]空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面思考题求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.解答,22222zxzxy交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx